证广义逆矩阵对称 广义行(列)对称矩阵的QR分解及其算法

　　摘要:对广义行（列）对称矩阵的QR分解和性质进行了研究，给出了广义行（列）对称矩阵的QR分解的公式和快速算法，它们可有效减少广义行（列）对称矩阵的QR分解的计算量与存储量，并且不会丧失数值精度。同时讨论了系统参数估计，推广和丰富了两文（邹红星，王殿军，戴琼海,等.行(或列)对称矩阵的QR分解.中国科学：A辑,2002,32(9):842-849；蔺小林,蒋耀林.酉对称矩阵的QR分解及其算法.计算机学报,2005,28(5):817-822）的研究内容，拓宽了实际应用领域的范围, 并修正了后者的错误。
　　
　　关键词:广义行（列）对称矩阵；QR分解；并行算法；信号处理�
　　
　　中图分类号: TN911.7文献标志码:A
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　　QR factorization and algorithm for generalized row (column) symmetric matrix
　　
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　　YUAN Hui.ping���*�
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　　School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China
　　
　　Abstract:
　　The properties and the QR factorization of generalized row (column) symmetric matrix are studied, and some new results are gained. The formula and fast calculate way for the QR factorization of generalized row (column) symmetric matrix are obtained, those formula could dramatically reduce the amount of calculation for QR factorization of generalized row (column) symmetric matrix, save dramatically the CPU time and memory without loss of any numerical precision. Another the system parameter estimate is discussed, some results of two paper(ZOU H, WANG D, DAI Q. et al. QR factorization for row or column symmetric matrix. Science of China: Series A, 2002,32(9): 842-849; LIN X L, JIANG Y L. QR Decomposition and Algorithm for Unitary Symmetric Matrix. Chinese Journal of Computers, 2005,28(5):817-822) are generalized，and some mistakes of the latter are corrected.
　　
　　The properties and the QR factorization of generalized row (column) symmetric matrix were studied, and some new results were gained. The formula and fast calculating way for the QR factorization of generalized row (column) symmetric matrix were obtained, and that formula could dramatically reduce the amount of calculation for QR factorization of generalized row (column) symmetric matrix, saved dramatically the CPU time and memory without loss of any numerical precision. Meanwhile, the system parameter estimation was discussed, some results of two paper (ZOU H, WANG D, DAI Q. et al. QR factorization for row or column symmetric matrix. Science of China: Series A, 2002,32(9): 842-849; LIN X L, JIANG Y L. QR Decomposition and Algorithm for Unitary Symmetric Matrix. Chinese Journal of Computers, 2005,28(5):817-822) were generalized，and some mistakes of the latter were corrected.
　　
　　�Key words:
　　generalized row (column) symmetric matrix; QR factorization; parallel algorithm；signal processing
　　
　　
　　
　　0 引言�
　　矩阵的QR分解是线性代数中矩阵的基本分解方法之一,它在最小二乘问题、最优化问题、线性方程组和特征值问题、图像处理、工程领域等方面有广泛的实际应用，而且也有重要的理论研究价值��［1-14］�。很多实际问题的数学模型，都可转化成线性问题，进而利用矩阵解决之；许多应用领域（如信息、控制、工程等）中大量出现的都是关于行、列或对角线的对称图像（矩阵），如计算机对具有对称性质的图像进行采样，所得到的数据矩阵具有行或列对称性。当对数据矩阵进行分解时，如果矩阵阶数高，用计算机直接分解计算量大，效率很低。若能找到矩阵中某一部分与其他部分之间的一些定量关系，尤其是当矩阵具有某种行或列对称性时，那么问题便很容易解决��［6-14］�。又如在模拟电路的波形松弛算法中要根据矩阵的结构进行分解��［15］�，因此寻找矩阵中某一部分和其他部分之间的结构关系就非常重要��［6-13］�。�
　　
　　文献［1-14］对矩阵的QR分解作了研究，其中：文献［7］对行（或列）对称矩阵的QR分解作了深入研究；文献［8］对行（或列）酉对称矩阵的QR分解及酉相抵作了深入研究，获得了深刻而应用广泛的结果。但文献［7-8］的变换矩阵是单位矩阵�I或反对角阵J�或酉变换矩阵��［8］�，在实际应用领域中变换矩阵多为正交矩阵，故本文将变换矩阵推广为正交矩阵，提出了广义行（列）对称矩阵的概念，研究了他们的性质，得到了一些新的结果，给出了广义行（列）对称矩阵的QR分解及酉相抵的公式和快速算法，极大地减少了它们的计算量与存储量，推广和丰富了文献［7-8］的研究内容，拓宽了实际应用领域的范围，探讨了系统辨识问题，指出并修正了文献［8］的错误，这无论是对于矩阵理论研究或者应用（如在系统参数估计、信号处理、图像分析、计算流体力学和计算结构力学等领域有广泛的应用）都是很有意义的。本文用�A��H�表示矩阵A的共轭转置矩阵，C��m×n�表示m×n复矩阵集，‖‖�2表示�Euclidean�范数，O表示零矩阵。

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