[小学生也能学习高深的数学思想]

　　一种看似极端的思想 　　 皮亚杰把儿童的智慧发展分成四个阶段：动作感知阶段，前运算阶段，具体运算阶段和形式运算阶段。在前运算阶段，儿童以具体形象思维为主，思维的主要目标是建立经验和动作之间的关联。其特点是，通过尝试来检验正误，经过反省失败、直观调节来矫正行为。在具体运算阶段，儿童能记忆有关现实世界的描述，并在头脑中加以改造，以形成一定的知识理论结构。其特点是，能够有选择地组织和运用这些描述解决深一层次、高一层次的问题，能够用一定的结构描述遇到的事物，能够对直观形象的世界加以改造，但他们还不能轻易地处理那些不曾接触过的事物。在形式运算阶段，儿童将不再局限于经历过的或正在面对的事物，而是经过不断地同化、顺应和平衡，逐步产生新的运算结构。其显著特点是，思维已能摆脱具体事物的束缚，将内容和形式区分开来，开始相信形式的作用，能根据假设――演绎进行逻辑推理。
　　 皮亚杰认为，儿童在智慧发展的每个阶段都有自己理解、掌握知识的方式，只要遵循儿童智慧发展的方式进行教学，就能使儿童学会知识，促进儿童智慧的发展。有鉴于此，美国心理学家布鲁纳提出了一个观点――“任何学科都可以以一种正当的形式，教给处于任何发展阶段的任何儿童”。这句话看似极端，其实涉及到早期教育问题。知识的发生发展可以形成从隐喻到严格的谱系，只要吃透知识的实质，抓住小学生心理发展阶段的基本特点，小学生也能学习高深的数学思想。
　　 “小洞不补，大洞吃苦”“日计不足，岁计有余”不只是生活常识，还包含了较高深的数学思想――定积分。教之道在于促进学生的发展，如何把看似极端的教育思想落到实处，需要有教学智慧。下面通过对典型例子的剖析阐述具体的做法。
　　虽其实是阳春白雪，然其形可以下里巴人
　　 微积分被誉为“人类精神的最高胜利”，其思想及体现思想的技法也可在小学数学应用题中以多姿多彩的形式出现。差分及差分之比充分体现了微积分的思想技法，在行程问题中表现得很明显。
　　 基本问题1（同向运动）一辆客车和一辆货车同时从A地出发开往B地，客车每小时行56千米，货车每小时行48千米，客车在货车前0.5小时到达B地，AB两地的距离是多少千米？
　　 解析：只要求出货车或客车到达B地的时间就行了。假设客车到达B地时并没有停下来，还在往前走。当货车到达B地时，客车比货车多走56千米/小时×0.5小时=28（千米）。为什么客车在货车到达B地的时间段内会多走28千米（路程差）呢？因为客车比货车跑得快（有速度差），在货车走完全程的时间内，客车多走了28千米。因此，货车走完全程的时间就等于客车与货车的路程差与它们的速度差之比。货车走完全程的时间是56×0.5÷（56－48）=3.5（小时），A、B两地的距离为48千米/小时×3.5小时=168（千米）。
　　 变式问题1（相向运动）甲、乙两车同时从两地相向出发，甲车每小时行56.4千米，乙车每小时行51千米，两车在离中点21.6千米处相遇。两地的距离是多少千米？
　　 解析：只要求出甲车和乙车从出发到相遇所用的时间就行了。因为甲车比乙车跑得快（有速度差），当甲车和乙车相遇时，甲车越过了中点，但乙车没有越过中点，所以甲车行驶的路程是两地距离的一半加上21.6千米，乙车行驶的路程是两地距离的一半减去21.6千米。甲车比乙车多走2×21.6千米，这就是从出发到相遇这段时间内两车行驶的路程差。因此，两车从出发到相遇所用的时间就等于两车的行程差与它们的速度差之比。两车从出发到相遇所用的时间是2×21.6÷（56.4－51）＝８（小时），两地距离为（56.4+51）千米／小时×８小时＝859.2（千米）。
　　 变式问题2（更复杂的相向运动）甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地、丙从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲。A、B两地相距多少米？
　　 解析：只要求出乙、丙两人从出发到相遇的时间就行了。当乙、丙两人相遇时，假设乙不走了，把乙（或丙）此时的位置当做终点，甲此时的位置当做始点。甲、丙继续往前走，甲、丙两人还要相向行驶2分钟才相遇，所以甲、丙两人在此段时间内的行程和就是乙比甲多走的路程，是2×（50+70）米，也就是在乙（或甲）、丙两人从出发到相遇这段时间内，乙比甲多走的路程（如下图所示）。乙、甲两人的速度差是60米/分－50米/分=10米/分，所以乙、丙两人从出发到相遇所用的时间是2×（50+70）÷（60－50）=24（分），A、B两地的距离是（60+70）米/分×24分=3120（米）。
　　
　　更复杂的相向运动的示意图
　　 上述三个问题的实质是一样的，只要抓住关键因素――时间，就可顺利解决。这里用到一个公式：时间=路程差÷速度差，但要选准究竟是哪一段时间。
　　 如果用S表示路程，T表示时间，V表示速度，那么总有基本公式T=。如果在S、T中分别用下标标示甲、乙两人的路程和时间，这时有T==。根据上述分析，有T====。从数学上说，由=得到==是比例性质的运用，是初中数学的教学内容；由==而得到===是差分思想的体现。这些原本对小学生来说较高深的思想，为何在小学数学应用题中出现，并能为小学生所接受呢？这里用到了一个朴素的想法――在一定条件下，一个量的变化势必会导致另一个量的变化。张景中院士曾指出，小学生也能接受函数的思想。“你变我也变”“大河无水小河干”，这些相依相存的关系就体现了朴素的函数思想。这些想法，若用公式、符号表示出来，反而遮蔽了我们的眼睛。故数学教育家说“淡化形式，注重实质”，“数学要讲推理，更要讲道理”，朴素的语言也能表达深刻的思想。
　　 抓住知识结构，拾级而上，积极进行认知构造，高深的思想也能教给儿童
　　 布鲁纳的“任何学科都可以以一种正当的形式，教给处于任何发展阶段的任何儿童”并不是说教师要把一切知识盲目地教给一切儿童，而是指要在遵循儿童身心发展规律和已有知识体系、学科本身的层次和客观环境的条件下，进行学科知识的教学。布鲁纳认为：每门学科都有其基本结构，这是必须掌握的科学因素，学校课程改革要忠于学科的基本结构；不论教什么学科，务必要使学生理解该学科的基本结构，这应该成为教学的中心。这里，结构是指事物之间的相互联系及规律。学科有学科结构，具体的知识点也有其自成体系的知识结构。如，对行程问题而言，用时间、速度和路程这三个要素刻画就足够了，深刻理解这三个要素形成的问题空间，不管是同向行驶问题，还是相向行驶问题，都可以得到解决。采用变式方法编制习题，构造从易到难的问题序列，逐步揭示问题空间的基本结构是一种行之有效的方法。让学生用示意图、列表法等方法去掉一些无关要素，把路程、时间和速度等要素的内在关系、内在结构从纷繁的语言描述中形象化地表示出来，是帮助学生理解题意，把握实质的好办法。
　　 布鲁纳反对把人看成是在认识上被动的接受者，而把人的认识过程看成是一种积极的构造过程。在教学过程中，可以要求学生广泛联想，积极动手、动脑思维，重新提炼先前获得的知识，转换知识使之适合新的任务。皮亚杰理论的实践者、数学教育专家凯米依说：“儿童做错事，常常是因为他们用自己的智慧按照自己的方法去做的。既然每个错误都是儿童思想的反映，那么，教师的工作就不能是纠正答案，而应该是弄清错误产生的原因。”教师不必急于教给学生什么，而可以让他们学会自我反省。比如，在解决问题时，可以不断地自我叩问，“这个问题涉及到哪些基本要素？其间的关系如何？有哪些公式可以利用？”“前面解决问题的方法能否用到后续问题？”等等。学问就是要既“学”又“问”，问题的提出能反映我们对问题的思考角度及理解程度，教师要以问题为导向引导学生进行认知构造。
　　 抓住学科结构与认知结构的同构性，以问题为导向激发学生的认知构造激情，高深的思想能以隐喻的、写意式的方式为小学生所接受。
　　（作者单位：华中师范大学教育信息技术工程研究中心）
　　

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