京颐512理论考试试题纠错 一道试题的纠错引发的思考

　　一、问题的产生和解决� 　　高三二模考试结束后，各地相关试卷陆续到了，徐州卷是中午刚拿到的，正好下午有数学课，于是就将解答题作为课堂训练使用了.下面的问题是由第19题引发的.�
　　题目：设函数f(x)=x�2-a�ln�x与g(x)=1ax-x的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行.�
　　（1）求函数f=(x),g(x)的表达式；�
　　（2）当a＞1时，求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值；�
　　（3）当a＜1时，不等式f(x)≥m・g(x)在x∈［14,12］上恒成立，求实数m的取值范围.�
　　对第一小题学生的反应很快，大多数学生完成后，我把一位学生的解答投影给大家看：�
　　由f(x)=x�2-a�ln�x，得f′（x）=2x�2-ax，由g(x)=�1ax-x，�得g′(x)=2x-a2ax．�
　　又由题意可得f′(1)=g′(1)，�
　　即2-a=2-a2a，故a=2，或a=12．�
　　所以当a=2时，f(x)=x�2-2�ln�x,g(x)=12x-x；�
　　当a=12时，f(x)=x�2-12�ln�x，g(x)=2x-x．�
　　刚投影出来，马上有几个学生提出：不对！�
　　我一愣，因为这个答案和随试卷所附的参考答案是一样的，而且书写也规范.第（2）、（3）题正好利用a=2，�a=12的�结果，哪里出了问题？于是请了一位学生讲解：
　　当a=12时，由于两函数的图象都过点（1,1），因此两条切线重合，不合题意.
　　所以只有a=2才可取.�
　　“原来如此！”很多学生发出了这样的感慨，赶紧低头订正.�
　　当时的我真是很羞愧，只顾着巡视，没有认真解题.�
　　利用学生继续做第（2）小题的时间，我重新审视了这题，发现还有不少值得探讨的地方，我没有提醒学生纠正，因为我相信肯定会有学生提出来.�
　　果然，当大家还在低头计算时，有一位男生急迫地发言了：“老师，第（3）题不能做！”全体学生都停下了笔，大多数是疑惑.有几个学生明显表示反对：“可能吗？这是正规的模拟考试卷，会有错吗？”而我的心里却是喜悦的.
　　为了照顾做题慢的学生，我先把他的第（2）题解答投影，没有不同意见.接下来请他解释第（3）题不能做的理由.�
　　“根据题目的条件，只有a=2才符合条件，也就是说不可能a＜1，”他说.�
　　“那么怎么办呢？是印刷错误还是题目本身有问题呢？应当如何修改，才能体现出卷老师的命题意图？”我把问题抛给大家，学生们开始了热烈讨论.陆续有学生提出了看法.�
　　生：“感觉上第（3）小题就是考a=12时的问题，把�a＜1�直接改成a=12不就行了.”不少学生点头表示认可.�
　　生：“不行，根据题目的条件只有a=2才符合题意，也就是a=2是唯一解，a是不可能为12的！”�
　　师：“那么第（3）小题就不需考了？这样得分是不是太容易了，这可是第19题啊！”�
　　生：“要使a=12，必须在第（1）小题时不把a=12舍去，即两条切线可以重合，可怎么改呢？”�
　　生：“就说两条切线的斜率相等，a就可取12了.”�
　　生：“还是不对，a=12时，点A，B重合.题目中说‘分别交直线于点A，B′， 点A，B肯定不是同一点.”�
　　生：“点A，B可以是同一点！题目中是说‘两函数分别交直线于点A，B′，并没有说点A，B一定是不同点.”�
　　大多数学生点头表示同意，也有摇头表示疑问.看来在这点上还有异议.�
　　师：“我认为点A，B可以是同一点.但条件改为‘两条切线的斜率相等’，太直白了，没味道.有没有其他表述？”�
　　没有人回答，我提醒到：“看来让两条切线可以重合，是解决问题的关键.除了‘直线与圆’这章，哪个章节里有‘平行与重合’可以归一的？”�
　　很快就有学生作出了反应，生：“两个向量平行，通过平移，两个向量所在的直线可以重合.”�
　　生：“把‘两条切线平行’改为‘两条切线的方向向量平行’.a＝12和a=2都符合题意.”�
　　问题解决了！大家都很开心，开始埋头解题.我却觉得还有一些问题需进一步探讨，碍于课堂时间有限，我没有发动大家交流讨论.
　　�
　　课后为了搞清楚此题（包括答案）是否是印刷错误，我上网进行了搜索.省略�）提供的试卷第19题大致相似，在第（1）小题答案中验证了
　　 “当a=12时，f(x)=x�2-12�ln�x，g(x)=2x-x．�
　　 由于两函数的图象都过点（1,1），因此两条切线重合，不合题意，故舍去.”�
　　仅仅是第（3）小题不同，为：
　　 “当a=12时，不等式�f(x)≥�m・g(x)在x∈［14,12］上恒成立，求实数的取值范围.”�
　　 即把“a＜1”改成了“a=12”.�
　　“错！错！”我不禁摇头感慨.其实本题第（1）小题的验证是一个很好的考点，很多学生会遗漏.考虑到第（3）小题，题目可以重新编写.�
　　不知道这题的确切版本是什么，不知道那里的教师和学生是如何处理这题的.�
　　二、几点感想�
　　1．今后在解题、做事时不能只满足于问题的解决，要学会用批判的眼光去看待自己的所解所做，不迷信教材和权威，敢于质疑.自己在做事时一定要全面思考，认真细致.�
　　2．苏霍姆林斯基说：“教育就是毕业以后很多年，学校里教的东西渐渐忘了，还有一些东西忘不掉的，忘不掉的东西才是教育.”素质教育的一个重要标志，就是要培养学生具有批判意识和批判能力，把课堂上学到的东西融于生活，用于实际，同时又要以生活中的实例促进学生的学习.�
　　作为教师，我们要思考的是：如何在教学中充分考虑学生的身心发展，结合他们的生活经验和已有知识，设计富有情趣和意义的活动，使他们有更多的机会在生活体验中自主探索、主动发现、敢于批判和创新，使学生今天所学的为明天所用，真正体现数学的价值.在本节课上由于题目的错误信息，反而更进一步激发了学生的探究意愿：因为需要以已有的知识去发现问题、解决问题，更好地提高了学生的知识保持，激发了学生的内在动机，获得了解决问题的技能，也增强了智慧潜能.�
　　3.《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，获得广泛的数学活动经验.”�
　　4.课堂上学生积极、主动参与的前提和基础是教师要转变教育观念，充分相信学生. �
　　高中学生的思维能力已达到一定的水平，对问题常会有自己独立的见解，但由于知识经验、能力的局限，有时的回答可能会显得幼稚或不全面，这时教师的态度尤其关键.在评价时要尊重学生的个体差异，要特别注意鼓励学差生的主动发言，在发言质量上不提太高的要求.激励、引导、点拨式的评价会让学生产生求知的心理冲动，以良好的心态进一步学习.限制太多，只能培育出墨守成规的学生.人只有在自由的环境中才能焕发出创新的活力和豪情.�
　　(责任编辑 黄桂坚）

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