【专题立体几何与空间向量】 空间向量与立体几何知识点

　　（1） 当BD的长为多少时，三棱锥的ABCD体积最大；　　（2） 当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.图1图2
　　（作者：卢杰江苏省丹阳高级中学）
　　立体几何在高考中占有重要的地位，近几年对立体几何考查的重点与难点趋于稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考查的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考查的重点一直没有变，常常考查线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和选修中的空间角与距离的计算。
　　在现有的必修教材中，虽淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，但在理科选修教材中加大了向量的应用。学习空间向量后，立体几何问题大多可以用向量的知识来做，从而使解题更简捷有效。对空间向量的考查主要集中于向量概念与运算，要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，尤其是求夹角、求距离。
　　一、 考纲要求
　　1. 空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体直观图，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；
　　2. 空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质.在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法；
　　3. 空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练。
　　二、 难点疑点
　　1. 空间几何体的表面积和体积的计算方法；
　　2. 平行关系和垂直关系的判定和性质，掌握好平行和垂直关系的证明方法；
　　3. 空间向量的应用，将立体几何问题转化为空间向量问题的方法。
　　三、 经典练习回顾
　　1. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.
　　2. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
　　①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.
　　其中正确的是.
　　3. 下列命题中，正确命题的序号是.
　　①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
　　②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
　　③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；
　　④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
　　4. 已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是.
　　5. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是.
　　6. 如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.
　　四、 例题精析
　　题型一空间几何体的表面积和体积
　　【例1】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.
　　（1） 求四面体ABCD的体积；
　　（2） 求二面角CABD的平面角的正切值.
　　【解法一】（1） 如图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而
　　AG=AC2-CG2=22-122=152.
　　由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=
　　154.
　　（图1）
　　由Rt△ABC中AB=AC2-BC2=3，S△ABC=12AB·BC=32.
　　故四面体ABCD的体积V=13·S△ABC·DF=58.
　　（2） 如图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE.由（1）知DF⊥平面ABC，
　　所以DE⊥AB，故∠DEF为二面角CABD的平面角.
　　在Rt△AFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，
　　在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.
　　在Rt△DEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.
　　【解法二】（1） 如图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM.因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B的坐标为B（x1，y1，0）由AB⊥BC，|BC|=1，有
　　x21+y21=1，
　　x21+（y1-1）2=1，
　　解得x1=32，
　　y1=12，
　　x1=-32，
　　y1=12（舍去）.
　　（图2）
　　即点B的坐标为B32，12，0. 又设点D的坐标为D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有 　　（y2-1）2+z22=1，
　　（y2+1）2+z22=4，
　　解得y2=34，
　　z2=154，y2=34，
　　z2=-154（舍去）.
　　即点D的坐标为D0，34，154.从而△ACD边AC上的高为h=|z2|=154.
　　又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.
　　故四面体ABCD的体积V=13×12·|AB|·|BC|h=58.
　　（2） 由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.
　　设非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由n⊥AB有 32l+32m=0. ①
　　由n⊥AD，有74m+154n=0.②
　　取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.
　　显然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而
　　cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，
　　故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，
　　即二面角CABD的平面角的正切值为2157.
　　点拨理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。
　　题型二点、线、面的位置关系
　　【例2】如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则（）
　　（A） EF与GH互相平行
　　（B） EF与GH异面
　　（C） EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
　　（D） EF与GH的交点M一定在直线AC上
　　解依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选（D）.
　　点拨理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
　　题型二直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
　　【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点.
　　（1） 设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；
　　（2） 证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
　　证明：（1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD
　　�瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，
　　所以直线EE1∥平面FCC1.
　　（2） 连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，∠BCF=60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
　　点拨掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
　　题型三直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
　　【例3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，
　　求证：（1） 直线EF∥平面PCD；
　　（2）平面BEF⊥平面PAD.
　　解（1） 因为E、F分别是AP、AD的中点，
　　∴EF∥PD，又∵P、D∈面PCD，E、F面PCD∴直线EF∥平面PCD.
　　（2） ∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴BF⊥面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.
　　点拨掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。
　　题型四运用空间向量解决空间中的夹角与距离
　　【例4】如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.
　　（1） 解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
　　∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）. 　　设E点坐标为（0，2，t），
　　则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.
　　∵BE⊥B1C，
　　∴BE·B1C=4+0-4t=0.
　　∴t=1，故CE=1.
　　（2） 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），
　　又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），
　　∴A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.
　　∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，
　　即A1C⊥DB，A1C⊥BE，
　　又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.
　　即A1C⊥平面BED.
　　（3） 解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4），
　　∴cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.
　　∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为306.
　　点拨利用向量求角：（1）异面直线所成角：向量a和b的夹角〈a，b〉（或者说其补角）等于异面直线a和b的夹角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2） 直线和平面所成的角：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角；（3） 求二面角的大小。（法向量法）m、n分别是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其补角）与二面角αlβ的大小相等。
　　牛刀小试
　　1.江苏金陵中学一模如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.
　　2.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
　　（1） 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
　　（2） 若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
　　（3） 设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
　　（4） 直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
　　上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.
　　3.（2012年高考（湖南））如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
　　（1） 证明：BD⊥PC；
　　（2） 若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥PABCD的体积.
　　4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上；
　　（1） 求证：平面AEC⊥平面PDB；
　　（2） 当PD=2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
　　（作者：朱振华江苏省海门高级中学）

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