矩阵分解在测量平差中的应用|C#矩阵测量平差

　　摘 要 在这篇文章中，我们将要介绍矩阵在测量学主要是在单一附合导线中的应用。在测量学中有许多数据是由实际测量间接得到的，由于许多原因，包括外因与内因，会使得计算结果存在误差，既然测量误差不能减小，我们可以寻找方法来减小计算误差。由于计算过程中可能会出现病态矩阵，所以本文将改进的截短的奇异值分解法引入到测量平差的数学模型的计算中，以此来减小误差提高计算精度。通过实例我们发现该方法在求解数学模型时具有一定的优势，对减小计算误差有一定的帮助。
　　关键词 测量平差；病态矩阵；误差转移法；截短的奇异值分解法
　　1 引言
　　在测量学中，并不是所有的数据都可以通过测量得到的，有些数据是需要通过计算来间接得到的，所以这些数据的误差不仅来源于实际测量，也有一部分是来自于计算过程的，这主要是由于在计算过程中可能会遇到病态矩阵，而由病态矩阵的特点知道，由于测量过程中不可避免的误差，会使得计算结果与真实结果相差较大。为了解决这些问题，已经有许多学者在这方面进行了研究，如：郭禄光[4]、樊功瑜[4]、黄幼才[7]、叶红超[6]、刘占江[6]等，下面将针对单一附合导线数学模型来说明改进的截短的奇异值分解法在其中的优势。
　　2 定义
　　定义1[1][2]、必要观测元素：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素。
　　定义2[1][2]、多余观测值：若对于模型中的几何量总共观测数为n，必要观测数为t，则称r=n-t为多余观测数、
　　定义3[3]、条件数：设A∈Rn×n，我们称cond（A）=‖A‖‖A-1‖为矩阵A的条件数。
　　定义4[3]、病态矩阵：对于矩阵A的条件数，如果cond（A）>100，则称A是病态矩阵。
　　定义5[1][2]、平差：按照某一准则求得观测值的一组最优估值的过程，
　　定义6[1][2]、条件平差法：对于某一测量，如果有n个观测值，必要观测值的个数为t，则存在r=n-t个条件方程：F（L）=0，如果条件方程式现行的，则上式可以写为AL+A0=0，其中A∈Rr×nL∈Rn×1，将L+Δ用L替换，并令W=-（AL+A0）则AΔ-W=0，我们称它为条件平差的数学模型，以此模型为基础的平差计算为条件平差法。
　　定义7[1][2]、权：在测量学中，比重称为权，测量值Li的权为pi=σ20σ2i，其中σ20为任意选定的常数，σ2i为观测值Li的方差。如果σ20=σ21， 就以观测值L1的方差σ1为标准差。
　　3 改进的截短的奇异值分解
　　设AX=b
　　为一个系数为病态矩阵的线性方程组，其中A∈Rn×n，b∈Rn×1 .对A进行奇异值分解得：
　　A=UDVT（3.2）
　　对于截短的奇异值分解[9]，我们需要选取一个临界值a，本文我们选取a=‖A‖2·10-2，令截短的矩阵为D1=diag（σ1，σ2，…，σr），其中D1是一个方阵，并令D的其他元素为0，U=[U1，U2]，V=[V1，V2] ， 则（2.2）变为
　　令
　　U1D1T1TX=b（3.3）
　　X=V1Y（3.4）
　　其中V1是非奇异矩阵， 则（3.3）变为
　　U1D1VT1V1Y=U1D1Y=b（3.5）
　　此时X的误差转移到Y， 从而无论Y是否有误差， 矩阵X都是正确的。
　　由（3.5）， 我们得
　　Y=（U1D1）-1b（3.6）
　　将其带入（3.4）， 则（3.1）式的最终结果为
　　X=V1（U1D1）-1b
　　用这种方法我们可以降低由于病态矩阵的存在而带来的误差， 并且同时具有截短的奇异值分解和误差转移法[8]的优点，因为它不仅将误差通过变换转移到了其他矩阵，并且不需要寻找误差转移法中的矩阵C 。
　　4 应用
　　如图所示，图中是一个单一附合导线，测角中误差为σ^β=±2.5″，测边所用测距仪的标称精度为σ^S=5mm+5×10-6·D，其中5mm是固定误差， 5×10-6 比例误差，D是比例距离. 请用条件平差法对导线进行平差。各测量数据如下：
　　解：由图知，未知导线的个数为1，导线的边数为4，观测角的个数为5，通过MATLAB以及测量学的专用软件可以求得近似方位角和近似坐标如下：
　　（1）改正数条件方程
　　闭合差项为：
　　即
　　系数矩阵为A，常数项为W，则由（4.1）-（4.3）可得
　　AX-W=0（4.4）
　　（2）、边角观测值
　　由题设以及测量学的知识可得测角观测值的权为
　　pβ=1
　　又由测边观测值的权计算公式为
　　可得
　　令
　　（4.5）
　　对公式（4.5），我们对其关于X求导数，并令其为0，则
　　（4.6）
　　X=P-1AT（4.7）
　　我们将其带入（4.4），得
　　AP-1ATK-W=0（4.8）
　　我们称其为公式（4.4）的法方程， 我们令（4.8）的系数为N=AP-1AT，且N是一个满秩矩阵， 通过计算我们可得：
　　则（4.8）式变为：
　　NK=W（4.9）
　　对于矩阵，它的条件数为a=cond（A）=130.9708， 由病态矩阵的定义知是病态矩阵. 它的奇异值为1.9261，14.8335，252.2588， 最大值比最小值大很多， 下面我们将用两种方法来求解此方程，并比较两种方法的结果。
　　（i）.改进的奇异值分解法
　　相应的单位权中误差为
　　σ10=2.3666×105
　　（ii）. 一般的求解方程组的方法
　　相应的单位权中误差为：
　　σ^20=2.4127×105
　　通过对两种方法的比较，我们会发现改进的截短的奇异值分解法会提高求解病态线性方程组的精确度。
　　5 总结
　　关于求解测量平差数学模型的问题，我们不能仅用最小二乘法，因为在求解的过程中可能会遇到病态矩阵，所以在求解的过程中我们不能不考虑病态矩阵的存在。通过对两种方法的比较，我们发现用改进的截短的奇异值分解法求解测量平差法数学模型可以降低方程的误差。所以截短的奇异值分解法是一种很好的求解测量平差数学模型的好方法。
　　参考文献
　　[1] 张书华，测量平差【M】。中国矿业大学出版社，2000，31：207-215.
　　[2] 王穗辉，误差理论与测量平差【M】。同济大学出版社，2009，66-95.
　　[3] 戴华，矩阵论【M】。科学出版社，2001.
　　[4] 郭禄光，樊功瑜，最小二乘法与测量平差【M】。同济大学出版社，1985.
　　[5] 叶松林，矩阵奇异值分解及其应用【J】，勘察科学技术，5（1996）：41-44.
　　[6]叶红超，刘占江，附合导线的一种平差计算方法【J】，黑龙江水利科技，3（2003），1.
　　[7] 黄幼才，岭估计及其应用【J】。武汉测绘科技大学学报，12（1986），64-
　　[8] 胡胜荣，罗锡文，病态线性方程组的新解法：误差转移法【J】。华南农业大学学报。10（2001），92-94.
　　[9] K.Yu.voloKH.o.Vilnay.Pin-point solution of ill-conditioned square system of linear equations【J】，Faculty of civil engineering echnoin-iserael institute of technology applied mathematies letters， 199-124.

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