面向研究生的凸优化课程教学设计与实践

魏 倩，白 可，金 勇，李军伟

（河南大学人工智能学院，河南郑州 450046）

近年来，随着互联网与计算机技术的蓬勃发展，世界各国纷纷围绕新一代人工智能技术及相关产业发展进行前瞻布局，并将人工智能技术作为未来的战略主导。国家亟需把握当前人工智能领域快速发展的机遇，在高校建立起完善的人工智能人才培养体系。然而，传统的教学体系设计已经无法满足新时代背景下人工智能人才培养的需求，开设具有创新性的实用课程，培养适应科技发展和社会需求的人工智能人才成为迫切要求。凸优化作为人工智能相关专业最重要的数学基础课程之一，成为该专业研究生课程教学计划必不可少的一部分。学生可以通过学习凸优化课程，培养提出、分析与解决工程优化问题的能力，为后续科研工作与就业打下坚实基础。此外，凸优化课程有助于培养学生理解与解决复杂工程问题的逻辑思维能力，对于培养高素质科研创新人才具有重要意义。

高等教育是培养创新型人才的有效途径，各大高校在学科设置、教学模式、课程教学改革等方面进行了相应调整和创新。例如，文献［4］提出混合式数学课程教学改革方法，采用模块化和案例式教学方式将数学建模思想传授给学生，从而激发学生对课程的学习热情，提高学习效率；
文献［5］针对人工智能的数学基础课程分析了相关基础数学课程设计和大学教师队伍设置的合理性，还探讨了微积分、线性代数、矩阵论、概率论和数理统计等教材具体内容设置。然而，以上文献是针对传统数学类课程进行改革的尝试，不能满足人工智能专业学生学习相关数学基础课程的需求。高等教育越来越大众化，必须深入推进培养模式改革，加快完善教学评价机制，不断提高人才培育质量。为此，文献［6］在工程教育背景下建立了信号与系统课程的教学模式和考核评价体系，有效提高了学生的学习成绩；
文献［7］通过分析自动控制原理课程的教学现状，提出以学生为重心的立体化教学实验体系，有效提高了学生分析复杂问题的能力；
文献［8］在工程教育背景下对数字图像处理课程进行改革，将前沿研究与工程案例引入课堂，满足了学生了解相关研究方向的需求。然而上述文献仅对工程教育背景下的教学模式进行了初步改革，探讨不够细致和深入。

人工智能是计算机科学的一个分支，目前已成为“新工科”研究与实践项目的热门学科，目的是培养工程实践能力强、创新能力强、具备国际竞争力的高素质复合型人才。该专业研究生需要从课程中学习如何建立解决问题的基本框架，培养科学分析问题的能力，这就要求其掌握一系列通用工程类课程内容，学会复杂问题建模，从而高效求解，然而传统课程体系已经无法满足现阶段该专业研究生对相关基础知识的需求。本文针对人工智能相关专业研究生课程内容单一、教学模式落后等问题，将凸优化课程引入到工科教学背景下，提出该课程改革的建设目标和教学内容，建立了相关评价体系，从而帮助人工智能专业研究生掌握求解凸优化问题的基本方法，满足其对数学基础理论的认知需求。

河南大学人工智能学院现有人工智能和控制工程2个专业硕士点，其中控制工程专业的依托学科——控制科学与工程为省一级重点学科。自2013 年开始，为紧跟人工智能领域研究前沿，提高研究生数学基础能力，团队开始尝试开设凸优化课程。该课程教学首先以团队内部研究生建立讨论班的形式展开，通过不断积累经验、收集课程资料、丰富教学内容，自2015 年开始面向人工智能学院全体研究生开设。

人工智能学院课程教学团队依托于省重点一级学科控制科学与工程，长期从事传感器管理及信息融合研究，所需数学理论基础与凸优化理论非常契合，且团队负责人及核心成员具有较强的理论研究功底，主持国家自然科学基金课题4 项，省部级项目7 项，人工智能领域横向课题若干项，在SCI/EI学术期刊发表论文50余篇。

凸优化是特殊的数学优化问题，其包含最基础的最小二乘与线性规划问题，可以认为是线性规划的推广。凸优化的实质是探索某些特殊类型非线性问题的高效求解方法。自1990 年起，凸优化方法在电子信息工程的自动控制、信号处理与通信、计算机网络、集成电路设计、数据分析及模式识别等领域获得了广泛关注。近年来，随着计算性能的指数提高，凸优化课程在人工智能领域的数学基础地位获得了学术界的认可。

该课程要求学生具备微积分、随机过程及矩阵论等理论知识，课程结构分为3 个部分，如图1 所示，其中第1-5章为理论基础，帮助学生建立凸优化理论的基本架构和概念方法；
第6-8 章分别讲述凸优化在概率统计、数据拟合、计算集合等诸多领域中的应用实例，帮助学生进行知识点理解和扩展；
第9-11 章讨论凸优化算法代码在嵌入式系统中的实现方法。

凸优化课程的建设目的是帮助人工智能专业研究生理解数学优化方法的背景知识，并掌握求解凸优化问题的基本方法。与数学专业侧重证明及理论体系完整性不同，本课程的教学过程应充分体现和落实对学生解决复杂工程问题能力的培养，帮助其理解复杂工程的内涵、认识复杂工程问题的特征，有针对性地培养和提高学生在人工智能领域相关工程实践中解决实际问题的能力。此外，本课程更注重锻炼学生从工程背景出发，认识、描述和求解工程应用问题的能力。其建设内容框架如图2 所示。课程内容具体分为6 个部分：①确定课程纲要。包括凸优化教学目标、教学内容、教学基本要求、学时学分分配及必要的说明等部分；
②编写教材和教参。基于科学性、系统性、实用性等标准，根据河南大学研究生水平对现有凸优化英文教材进行修改；
③创建授课计划及教案。包括凸优化教学目的与要求、授课重点与难点、日程、进度、教材和参考书目以及课堂讲授、讨论、辅导、作业练习、考核等教学环节的具体安排；
④组织课程实施。采用开放式（讨论、研究、网络等）教学模式，强化凸优化案例代码实现的教学环节；
⑤开展课程评价。建立科学的可操作的课程考核制度，尝试构建试题库，积极探索以优化案例研究及代码实现代替考试的评价制度；
⑥完善课程教学内容和课程结构。广泛搜集人工智能与控制工程领域最新的优化案例，突出课程特色，根据实际教学情况及时调整课程体系。

Fig.1 Course structure图1 课程结构

Fig.2 Content framework of course construction图2 课程建设内容框架

预期经过3 年课程建设，人工智能专业研究生可以掌握凸优化基础理论知识，将工程中常见的优化问题抽象为凸优化问题，并具备使用该理论和相关求解方法设计并解决工程优化问题的能力。

凸优化课程的开设单位为人工智能学院，拥有控制科学与工程、人工智能两个学科硕士点，学院每年招收研究生近百人。如何加强学院研究生科研及工程能力培养，助力河南省社会经济发展，实现“弯道超车”一直是课程团队重点关注的问题。相关专业研究生需要结合实际工程中涉及的优化问题，按照抽象—梳理—研究—衍生的脉络展开数学基础理论学习，这不仅对学生，也对研究生导师的理论功底和工程能力提出了更高要求。

由于涉及数学和人工智能等领域的诸多前沿研究热点，凸优化课程教学实践应紧跟国际主流课程设置方法步伐，教材及课件采用国际著名优化专家、中国科学院外籍院士Stephen Boyd 教授原版，授课采用教师板书+英文课件+研究生研探讨等手段。

5.1 考核方式

目前，研究生课程考核方法以闭卷考试为主，课后习题练习为辅。然而，该类方法并不适用于工科类课程，不能反映学生的实际应用能力。为此，本课程提出过程性考核评价体系，分为3个部分：①平时成绩（占30%）。包括出勤率考核、平时课堂表现；
②研究应用成绩（占30%）。主要考核学生对基础理论知识的掌握情况，是否能将学到的知识与自身研究方向相结合，并通过代码进行实现，具体考核形式为学生在课堂上通过PPT 等演讲方式与同学进行沟通探讨；
③期末考试成绩（占40%）。重点考核学生对理论知识的应用能力，以及解决抽象数学优化问题的能力。期末考试采用书面闭卷形式，主要题型为综合应用题，要求写出完整的分析思路与步骤。每次考试可根据实际需要选择不同题型，应至少包括4类题型。

5.2 教学实践效果

在河南大学的60 名人工智能专业研究生中进行教学实践，由表1 可以看出，全部学生的期末成绩表现良好，整体上呈正态分布。此外，学生在各自研究领域应用凸优化相关知识求解遇到的工程问题，并通过PPT 等形式与其他学生进行交流，充分实现了“会学”到“会用”的跨越。

凸优化是人工智能专业研究生的重要数学基础课程，内容具有强大的理论性、可扩展性。本文通过对凸优化课程进行教学内容和课程建设目标设计，使该专业研究生掌握采用数学优化方法解决复杂工程问题的能力。同时，本文还以培养实际应用能力为导向，建立了合理的考核评价体系，使学生能够运用所学知识分析、解决实际问题，为今后从事相关领域的技术研发、工程应用工作打下坚实基础。然而，本文主要针对课堂教学进行凸优化基础理论的分析与应用，今后将继续探索将凸优化课程设计与网络教学、实验教学相结合。

Table 1 Students’grade distribution表1 学生成绩分布

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