基于素养提升的数学探究——以一道高三数学调研题为例

金一鸣, 常梨君

(常州市田家炳高级中学，江苏 常州 213001)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)将数学建模活动与探究活动作为高中数学课程内容的四条主线之一.数学探究是指围绕某个具体数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明[1].

在《新课标》中，数学探究被赋予了“提升学生数学关键能力和核心素养”的重要使命.在一线教学中，若以数学探究引导学生积极实践，不仅有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，理解直观和严谨的关系，尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；
更有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，发展学生的创新意识和实践能力.

本文以2022年苏锡常镇四市高三数学教学情况第一次调研试题第21题为例，从不同角度开展数学探究活动，提升学生的数学素养.

1)求椭圆C的标准方程；

2)若直线MN的斜率k=1，求点A的坐标．

(2022年苏锡常镇四市高三数学教学情况第一次调研试题第21题)

2)解设直线MN的方程为y=x+m，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，A(x0,y0),与椭圆方程联立，得

则

3x2+4mx+2m2-6=0，

因为点A在第一象限，所以x0=2,y0=1,故点A的坐标为(2,1).

波利亚曾说过：“没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方.”通过回顾反思，发现点A(2，1)在该椭圆上，这个位置很特殊，背后是不是蕴涵着某些必然呢？

2.1 易位变形

易位变形是将原命题中条件部分所含的事项与结论部分所含的事项互易位置，从而得到新命题的过程.易位又分为全易位和部分易位，将命题中的条件与结论全部同时交换位置称为全易位；
若命题的条件部分与结论部分所含有的事项均不止一个，当我们将这些事项分别交换位置，就可以得到几个命题，这样的易位称为部分易位.易位变形实质是通过构造已知命题的逆命题而得到新的命题[2].由4种命题的关系知，易位变形后所得的命题未必是真命题，需要给予证明.

证明由题意可知直线AM，AN斜率必定存在.设M(x1,y1)，N(x2,y2),设直线AM的方程为y-1=k1(x-2)，直线AN的方程为y-1=k2(x-2),联立

由于直线AM，AN倾斜角互补，则k1+k2=0，从而

证明由题意可知直线AM，AN斜率必定存在.设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线AM的方程为y-1=k1(x-2)，直线AN的方程为y-1=k2(x-2),由探究1可得

即

(k1+k2)(k1-k2)=0.

而k1≠k2，故

k1+k2=0.

还有其他的证明方法吗？如设直线MN的方程为y=x+b，由于M,N在直线y=x+b上，将M,N的坐标代入可得

即k1,k2为方程(2b+6)k2+b-3=0的两个根，则k1+k2=0，即两直线的倾斜角互补.

易位变形所得命题让学生有一种似曾相识之感，这有助于激起学生对新命题论证的兴趣.但是这种思维定势也会固化学生的思维.若跳出原有框架，引入新的思想方法，则会有意外之喜.这时就需要教师适时介入，因势利导，通过释疑解惑，帮助学生建构数学知识体系，完善解题思路，体悟数学思想方法.

波利亚又说过：“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都是成堆地生长的,找到一个以后,你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”那么“易位变形”周围的蘑菇是什么？

2.2 一般化

一般化就是把原命题的结论推广到一般情形后得到新命题的过程．得到的新命题同样需要证明.

将探究1一般化为任意椭圆及椭圆上的点，可得探究3.

由于直线AM，AN倾斜角互补，从而k1+k2=0，于是

可见，探究1的值是此结论的特殊化.

一般化探究能让我们以“上帝的视角”去研究问题，从而掌握数学问题内部发展的线索，这种由特殊到一般的探究方式是数学研究的重要方法.在进行一般化的探究中，“在何处进行一般化”是学生探究的难点，也是教师的点拨之处，教师应引导学生从命题的特殊状态或具体数值入手，将特殊状态推广到一般状态，具体数值推广到任意数值.同样，探究2和例1也可以进行一般化得出相应结论，笔者在此不一一赘述.

2.3 类比

波利亚在《怎样解题》中是这样论述类比的：相似的物体在某些方面彼此一致，而类似的物体则在它们相应部分的特定关系上相一致.类比探究是指根据两个对象之间的相似之处，把信息从一个对象转移给另一个对象，它是一种由此及彼的合情推理．椭圆是圆锥曲线的一种，在双曲线和抛物线中也有与探究3类似的结论成立，证明留给读者.

宇航员阿姆斯特朗曾说过：“这是个人的一小步，却是人类的一大步.”在科学探索中，小小的一步会成为伟大的创举，数学内部的探究同样如此.能不能在探究3的基础上，再跨出去“一小步”？

2.4 条件加强或减弱

条件加强或减弱是指在原命题的基础上，加强或减弱部分条件从而生成新命题的过程.以探究3为例，由于椭圆上任意一点A(x0,y0)处的切线斜率是确定的，通过在原命题上增加条件“点A处的切线与MN的延长线交于点P”，得到如下新命题：

图1

证明由题意知过点A(x0,y0)的切线斜率必定存在.设过点A的直线方程为y-y0=k(x-x0)，联立

消去y,得

(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

由于直线AP与椭圆相切，则

Δ=[2k(y0-kx0)a2]2-4(b2+a2k2)[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

在探究6的基础上继续深入可得:如图2，设切线AP交x轴于点Q，直线AM,AN分别交x轴于点E,F，由于∠AEF=∠AFE，而∠AFE=∠NAQ+∠AQF且∠AEF=∠AMP+∠MDE，由直线AP和直线MN的倾斜角互补可得∠AQE=∠PDQ，从而∠NAP=∠AMN(类似圆中弦切角等于同弧所对的圆周角)，因此△APN∽△APM，从而PA2=PN·PM(类似圆中的切割线定理).

图2

由上可知，增加一条切线，探究3又得到了许多优美结论，问题探究的活力就在于此.笔者认为条件的加强或减弱是在充分理解问题背景的基础上，找到问题“生长点”的有力武器，是培养创新意识的重要素材.当然更替要适度，不能喧宾夺主.事实上，在具体实践中，可以让学生先自我尝试探究，通过直觉、观察、联想等方式进行大胆猜测，再引导学生进行推理论证，以培养学生思维的严谨性.只有经历过探究的失败，才能感受到探究成功的喜悦.

将探究6一般化可得：

图3 图4

1)AD,BC的倾斜角互补；

2)若AD,BC相交于点T，求证：|AT|·|DT|=|BT|·|CT|.

kAB+kCD=0，

由图4可知∠A′EF=∠C′HG,又∠A′EF=∠A′B′C′+∠EFB′=∠A′B′C′+∠C′FH,同理可得

∠C′HG=∠C′D′A′+∠HGD′=∠C′D′A′+∠A′GE,

而

∠A′B′C′=∠A′D′C′,

于是

∠C′FH=∠A′GE，

即

kB′C′+kA′D′=0.

|A′T|·|D′T|=|B′T|·|C′T|，

从而

|AT|·|DT|=|BT|·|CT|，

即椭圆内的相交弦定理.

从探究6所得结论发现：圆中成立的很多命题，在椭圆中同样成立，因此该证法的获得就是受圆的启发，将椭圆通过伸压变换成圆，从而使命题的论证变得简洁.对探究7进一步推广，如果点T在椭圆外，那么|AT|·|DT|=|BT|·|CT|仍然成立，这时可以看成椭圆中的割线定理.综上可知，椭圆内的“圆幂定理”仍然成立.

探究5对接例2的第1)小题：

1)求l的斜率；

(2022年全国数学新高考Ⅰ卷第21题)

探究7对接例3的第2)小题:

1)求C的方程；

(2021年全国数学新高考Ⅰ卷第21题)

有兴趣的读者不妨试着做一做例2和例3，本文不一一赘述.

4.1 4种探究方式的关系

4种探究方式四位一体，关系紧密.从原命题出发，易位变形是基础，学生在论证所探究命题正确性时，需时刻辨清条件与结论，以便及时选择证明方法和调整证明方向.类比是拓展，探究与原命题在同一维度或更高维度上，学生需找到“相似点”才能够使类比顺利进行，同时要关注好类比前后产生的差异性.一般化是深化，由于所得命题具有普适性，这比原命题提高了一个层次和境界，需要学生动用联想、想象、观察等各种感观才能发现并解决问题.条件加强或减弱是升华，它把数学问题的探究推向了一个新的高潮，使原问题有了更强的生命力.4种探究方式都要求学生有较好的数学应用迁移的能力，需要学生具备直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

4.2 4种探究方式能有效地辅助教与学

“教之道在于度”.教师要根据学生的最近发展区适时调整探究的深度，制定合理的教学目标，调动学生的积极性，唤醒、发掘和提升学生的内在潜能.教师要根据学生的层次将探究能力不同的学生组合在一起，综合协调教学内容，让学生在合作中取长补短，优势互补，提升学生的探究能力，发挥数学的育人价值.

“学之道在于悟”.4种探究的进程是自我数学素养评价的标志.在学生自主探究中，易位变形和类比提供了学生进行自主探究的方向，让学生自主探究有章可依.一般化对学生自主探究提高了要求，条件的加强与减弱更是学生自我提升的增长点.4种探究波浪式前进，螺旋式上升，让学生在发现、解决、反思问题中品尝乐趣.教师把握度，学生及时悟，更能有效地培养学生的关键能力和核心素养，才能更好地践行高中数学新课程“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”这一理念.

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