基于水生系统的常微分方程平衡点的定性分析

刘 煦，陈思潼

(1.吉林财经大学应用数学学院，吉林 长春 130117；
2.黑龙江大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

藻类是水生生态系统中的重要初级生产者，可以进行光合作用和化学合成[1].藻类的空间结构一般分为上下两层，位于上层悬浮于水中的称为浮游藻类，位于下层生长于水下各种基质表面的称为底栖藻类[2-4].二者共同构成了藻类种群的重要初级生产者，是水生动物的重要食物来源之一，是水体物质和能量循环中重要一环.

营养是藻类生长的必备元素之一.淡水湖泊营养丰富的环境下，因为水中含有大量的磷、氮等元素，大量有机物在水中降解释放出营养元素，促进水中藻类疯狂增长.但藻类死后分解出大量有毒物质，致使水生生物由于缺氧或中毒而大量死亡，这样就破坏了整个淡水湖泊的生态系统[5].因此，研究藻类和营养的数学模型具有重要的实际应用价值.

近年来，国内外许多学者已经建立并研究了藻类和营养的数学模型，得到了许多优秀的研究成果[2，6-10].本文参考文献[3]建立了一个浅水生态系统中浮游藻类-底栖藻类-营养常微分方程模型：

(1)

其中:U，V分别表示浮游藻类和底栖藻类种群密度；
R，W分别是水中浮游层营养和底栖层营养；
ru，rv表示种群的内禀增长率；
mu，mv分别表示种群U和V的死亡率；
Rsur是外界营养输入；
Wsed是底层沉淀物释放出的营养；
L1，L2表示水中浮游层和底栖层的水深；
a，b，c分别表示浮游层营养和底栖层营养、底泥中营养和底栖层营养、外界营养与浮游层营养之间的交换率；
η表示浮游藻类的下沉率；
γu，γv是半饱和系数；
cu，cv是藻类的碳磷比；
βu，βv表示藻类死亡后的营养释放率.鉴于模型(1)的实际生物意义，假设模型(1)的初始值都是正的，即U(0)>0，V(0)>0，W(0)>0，R(0)>0.

研究模型(1)的平衡点的存在性及稳定性.模型(1)的平衡点如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

为了判断这些平衡点的局部渐近稳定性，需要考虑模型(1)的Jacobian矩阵.经简单计算可得模型(1)的Jacobian矩阵为

其中：

其余元素均为0.

(6)

时，E1是局部渐近稳定的.

证明通过求解方程(2)，可得

因而当(6)式成立时，有

这说明J(E1)的特征根均具有负实部，因此，E1是局部渐近稳定的.

定理2 若

(7)

(8)

时，E2是局部渐近稳定的.

证明通过求解方程(3)，可得

注意到

考虑特征多项式

f(λ)=|λI-A|=λ3+A1λ2+A2λ+A3，

其中：

所以，当(8)式成立时，有Ai>0，i=1，2，3，A1A2-A3>0，于是J(E2)的特征根均具有负实部.因此，E2是局部渐近稳定的.

那个时候的我们，不谈学业，不言前程。不说喜欢，也不言爱情。自自然然，简简单单，一袋零食，两三本书，就可以去到学校后面的小山坡上坐上半天，说说话，发发呆。没有未来，我们便不谈未来。只谈《梅花三弄》，只谈《七剑下天山》……

定理3 若

则E3存在，并且当

(9)

时，E3是局部渐近稳定的.

证明通过解方程(4)，可得

在E3处的Jacobian矩阵为

考虑特征多项式

g(λ)=|λI-B|=λ3+B1λ2+B2λ+B3，

其中：

若条件(9)成立，易知

Bi>0，i=1，2，3，B1B2-B3>0，

这说明J(E3)的特征根均具有负实部，因此，E3是局部渐近稳定的.

定理4 若

(10)

则E4存在且是局部渐近稳定的.

证明通过求解方程(5)，可得

若条件成立，则E4存在.直接计算有

其特征多项式为h(λ)=λ4+C1λ3+C2λ2+C3λ+C4，其中：

易证若(10)式成立，则

因而，J(E4)的特征根均具有负实部.于是E4是局部渐近稳定的.

取γu=3，γv=5，cu=0.008，cv=0.015，βu=0.5，βv=0.3，ru=1，rv=1，η=0.1，L1=2，L2=0.01，a=0.05，b=0.05，c=0.01，Wsed=0.03，Rsur=0.3.

经计算得模型(1)的平衡点，见图1.在图1(a)中，E1是一个稳定的平衡点，意味着U，V种群都灭绝；
图1(b)中，E2是一个稳定的平衡点，表示底栖藻类V灭绝；
图1(c)中，E3是一个稳定的平衡点，表示浮游藻类U灭绝；
图1(d)中E4是一个稳定的平衡点，表示所有种群共存.以mu，mv为参数，建立了平衡点的分布图，见图2，其中：

图1 模型(1)的平衡点

图2 模型(1)的平衡点分布图

猜你喜欢 浮游平衡点藻类 浅谈微生态制剂对水域环境中水华浮游藻类生长的抑制作用当代水产(2022年6期)2022-06-29动物体内有植物大自然探索(2020年4期)2020-06-19地衣是一种植物吗儿童故事画报·自然探秘(2020年1期)2020-04-24沉箱出运安装施工安全控制要点装饰装修天地(2019年9期)2019-10-21Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性教育教学论坛(2019年27期)2019-07-30藻类迸发新能量大科技·百科新说(2017年2期)2017-03-29环境保护投资与经济发展的关系现代经济信息(2016年8期)2016-12-26建筑业营改增下适用税率的选择现代企业文化·理论版(2016年19期)2016-12-21“浮游”炸弹在敌机群中开花红岩春秋(2016年8期)2016-05-14透过平衡点 打造完美比例花样盛年(2014年12期)2014-12-11

推荐访问:定性分析 平衡点 方程