论杆物绳系的动力学与能量问题

周定河

(常德市第一中学 湖南 常德 415000)

以杆物绳系统为背景的习题在各种资料上出现的频率较高，习题设计一般针对物体的动力学分析和能量问题讨论，但有些题目给出的答案往往出现失误.因此，有必要对这类问题深入研究.下面结合几个例题从动力学分析和能量转换两个侧面对杆物绳系统深度分析[1]，以期避免同样的失误.

【例1】如图1所示，物块套在固定竖直杆上，用轻绳连接后跨过定滑轮与小球相连.开始时物块与定滑轮等高.已知物块的质量m1=3 kg，球的质量m2=5 kg，杆与滑轮间的距离d=2 m，重力加速度g=10 m/s2，轻绳和杆足够长，不计一切摩擦，不计空气阻力.现将物块由静止释放，在物块向下运动的过程中( )

图1 杆物绳系初态

C．物块下降的最大距离为3 m

D．小球上升的最大距离为2.25 m

原解:当物块所受的合外力为零时，物块运动的速度最大，此时，小球所受合外力也为零，则有绳的张力为小球的重力，即

FT=m2g=50 N

(1)

对物块作受力分析，如图2所示，可知

FTcosθ=m1g

(2)

图2 物块受力分析

对物块速度v沿绳子的方向和垂直绳的方向分解，则沿绳方向的分速度即为小球的速度，设为v1，则有

v1=vcosθ

(3)

对物块和小球组成的系统，由机械能守恒定律可知

(4)

代入数据，得

(5)

故A正确，B错误.

设物块下落的最大高度为h，此时小球上升的最大距离为h1，则有

(6)

对物块和小球组成的系统，由机械能守恒定律可得

m1gh=m2gh1

(7)

联立解得

h=3.75 mh1=2.25 m

(8)

故C错误，D正确.选A，D.

原题给出的答案中，选项A是错误的.该解答的失误在于没有对球进行正确的动力学分析.讨论如下.

在例1中，释放物块时物块的合力为竖直向下的m1g，则物块下滑全程必先向下做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，其加速度为零时速度最大.

设绳与杆成θ角时物块的速度为v、加速度大小为a，小球的加速度大小为a1.将v沿绳和垂直绳的方向分解，如图3所示.沿绳方向的分速度大小v1就是小球的速度大小，有

图3 物块速度分解

(9)

两边求导，得

(10)

(11)

可见，物块加速度为零时，小球的加速度必不为零.

这是杆物绳系统中物体加速度问题的关键，也是特别容易出现错误的地方.而原解答则认为两球的加速度同时为零，从而得出选项A对的错误结论.

在例1中，对杆物绳系统的能量研究，可以得到物块运动的最大速度.

设绳与杆成θ时物块的速度大小为v.对物块和小球组成的系统，由机械能守恒定律，有

(12)

代入数据化简，得

(13)

直接解该方程求v难度可想而知，几乎得不出结果.在网上觅得一款门槛极低的GeoGebra动态数学作图软件，可以轻松作出v2-θ图像，从而解出vm.用GeoGebra绘出的式(13)的图像如图4所示.可得，vm=3.91 m/s，对应的θ约为59.6°.

图4 用GeoGebra绘出的式(13)的v2-θ图像

在图4中的C点，θ约为28.0°，由几何关系有

(14)

与直接解得的结果3.75 m非常接近.说明上述结果是可信的.

与该题相似的是1995年上海市第九届高一物理竞赛复赛第23题，原题如下.

【例2】如图5所示，细线的一端与套在光滑细杆MN上的滑块A相连，另一端通过不计大小的定滑轮O将物体B悬挂在空中，细杆MN与水平面成60°角，杆上P点与滑轮O处在同一水平面上，P到O点的距离为s=1 m，滑块A的质量为5m，物体B的质量为m，滑块A在P点由静止开始沿杆下滑.

图5 杆物绳系初态

(1) 当OP绳转过角度θ=60°时，滑块A的速度多大？

(2)求滑块A下滑的最大速度.

(15)

他们利用MATLAB软件作出式(15)的v2-θ图像如图6所示，A点表示滑块下滑到最大距离处，此时θ约为4.75°，B点表示滑块的速度达到最大，约为3.75 m/s，此时θ约为68.21°.

图6 用MATLAB软件作出的式(15)的v2-θ图

图7 用GeoGebra绘出的式(15)的v2-θ图像

针对例1，由机械能守恒定律可得到小球的速度大小满足

(16)

图8 用GeoGebra绘出的式(16)的图像

在例1中，设绳与杆成θ时绳上的拉力大小为FT，物块加速度大小为a，小球的加速度大小为a1.由牛顿第二定律有

m1g-FTcosθ=m1a

(17)

FT-m2g=m2a1

(18)

解得

(19)

当小球加速度为零时其速度最大，此时FT=m2g，由图8可得对应的θ约为45.0°，由式(19)可以得物块加速度a=-1.78 m/s2.说明该时刻物块在向下减速.

而物块加速度为零时，θ约为59.6°，有

m1g-FTcosθ=0

(20)

解得FT=59.3 N，利用式(18)，可得小球的加速度大小为1.86 m/s2.

总之，在解答以杆物绳系为背景命制的部分习题时，很容易出现物体加速度关系的错误，从而得出错误的结论.期望本文的思路能为大家提供一点参考.

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