二维不可压Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程的整体弱解的存在性

申会玲

(广州大学 数学与信息科学学院, 广东 广州 510006)

本文研究不可压Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程：

∂tρ+div(ρu)=0

(1)

∂t(ρu)+div(ρu⊗u)+∇p=μΔu-λ∇·(∇d⊙∇d)

(2)

∂td+u·∇d+α1d×Δd=α2Δd-α3(1+|d|2)d

(3)

divu=0

(4)

其中,(x,t)∈Ω×(0,T)，Ω={x=(x1,x2)||xi|0,α1<0;运算符号∇是梯度算子;∇·是散度算子;∇d⊙∇d是一个2×2阶矩阵∇id·∇jd(1≤i,j≤2)。

其初始条件：

(ρ,u,d)|t=0=(ρ0,u0,d0)

(5)

在式(1)～(4)中，若d是常向量，则原方程是一个常粘性非齐次不可压Navier-Stokes方程。现在对于一般的Navier-Stokes方程组的研究相对成熟，Lions[1]对不可压Navier-Stokes方程组作了比较系统性的研究,对可压缩的Navier-Stokes方程组的研究主要见Lions[2]和Feireisl等[3- 4]。但是对于三维Navier-Stokes方程组的弱解的正则性和唯一性问题至今仍未解决。

若取式(1)～(4)中u=0，ρ是一个常数，并且如果式(3)中α2Δd-α3(1+|d|2)d项是d×(d×Δd)，则式(1)～(4)变为Landau-Lifshitz方程[5-6]

∂td=d×Δd-λd×(d×Δd)

(6)

式(6)无耗散项时为

∂td=d×Δd

(7)

对于式(7)，Alouges等[7]和Sulem等[8]讨论了在一定条件下该方程的弱解的存在性及唯一性问题；
郭柏灵等[6]、Zhou等[9-11]和You等[12]证明了在一维情况下的整体弱解的存在性、非线性初边值问题整体弱解的存在性，及多维情况下整体弱解的存在性。对于式(6)的解的存在性问题，Guo等[13]在1997年已经讨论，在文中证明了式(6)局部弱解的存在性，又通过拓展得到整体解的存在性。

当不考虑速度和密度时，式(1)～(4)就是Landau-Lifshitz-Bloch方程[14-15]

∂td=Δd+d×Δd-λ|d|2d,

对此方程的研究近年有显著进展：2016年Le[16]证明了方程弱解的存在性,并讨论了弱解的正则性；
2019年Ayouch等[17]讨论了一类含Caputo分数阶弱导数的时空Landau-Lifshitz-Bloch方程弱解的整体存在性并推导出在一维空间情况下的唯一性；
近两年Jia和Guo等[18-20]研究了m维闭黎曼流形上的Landau-Lifshitz-Bloch方程局部解的存在性、一维可压缩Landau-Lifshitz-Bloch方程初值问题的整体光滑解的存在唯一性、具有周期初始值的Landau-Lifshitz-Bloch方程在二维和三维空间中其光滑解的存在唯一性。

本文参考Wang等[21]证明二维Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在性的Feado-Galerkin方法，研究二维不可压Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Bloch方程的整体弱解的存在性。

下面给出本文的主要结果：

定理1(存在性) 假设初始数据满足以下条件：

(8)

u0∈L2(Ω), ∇d0∈L2(Ω),divu0=0

(9)

则对任意的T>0，式(1)～(4)存在弱解(ρ,u,d)且满足：

(10)

u∈L∞([0,T];L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω))

(11)

d∈L∞([0,T];H1(Ω))∩L2([0,T];H2(Ω))

(12)

在这里先给出一些符号表示。在本文中C是变常数；
Wk,p和Hs是Sobolev空间，Lp([0,T];Lq(Ω))是带有时间的Sobolev空间，其中的元素关于时间变量p次可积，关于空间变量q次可积。

引理1(Gagliardo-Nirenberg不等式)[22]假设Ω⊂Rd(d≥1)是一个有界开集，且满足∂Ω∈C0,1，m∈N,1≤p,q,r≤∞，那么存在常数C>0使得∀u∈Wm,p(Ω)∩Lq(Ω)有

其中,0≤|α|≤m-1，θ=|α|/m且|α|-d/r=θ(m-d/p)-(1-θ)d/q；
若m=|α|-d/p∉N0,θ∈[|α|/m,1]上述不等式也成立。

引理2(Sobolev嵌入定理)[23]Sobolev空间Wk,p(Rn)，若k>l且1≤p

Wk,p(Rn)⊆Wl,q(Rn)

并且此嵌入连续。在k=1且l=0的特殊情况下有

W1,p(Rn)⊆Lp*(Rn)，

其中,p与p*是Sobolev共轭：1/p*=1/p-1/n.

特别地，由引理1与引理2有下列不等式在n=2的情况下成立，且将在下节中用到：

若u∈L2(Ω)且∇u∈L2(Ω)，则有

(13)

引理3(Aubin-Lions引理)[24]假设Banach空间X,Y,Z满足X⊂Y⊂Z并且X→→Y，则有

Lq([0,T];X)∩{φ:∂tφ∈L1([0,T];Z)}→→Lq([0,T];Y),∀1≤q≤∞,

L∞([0,T];X)∩{φ:∂tφ∈Lr([0,T];Z)}→→C([0,T];Y),∀1≤r≤∞。

在本节中通过构造逼近解，说明了其局部存在性，又对逼近解做一致整体的线性估计，从而证明弱解的整体存在性。

首先构造一个逼近解序列：

令

V={h∈L2}

(14)

-Δw=λjw,

-Δη=δjη,

对于∀m,n，式(1)～(4)有近似解umn和dmn：

(15)

(16)

那么就有

∂tρmn+umn·∇ρmn=0

(17)

(18)

(19)

ρmn(x,0)=ρ0mn(x),umn(x,0)=u0mn(x),

dmn(x,0)=d0mn(x)

(20)

其中,j=1,2,…m。式(17)～(20)是关于gjmn和hjmn的常微分系统，根据常微分方程组存在性理论可以得到∃T0>0，使得常微分系统式(17)～(20)有光滑解(gjmn,hjmn)，并且可以将解延拓到区间[0,T]。

下面对上述的逼近解进行先验估计。

引理4假设定理1的条件成立，则式(17)～(20)的解满足如下估计:

(21)

(22)

证明根据式(17)由特征线法易证得式(21)，现证式(22)。

在式(18)中选取umn为测试函数

(23)

在此用到由式(17)得到的一个事实

(ρmnumn·∇umn)·umndx。

类似地，式(19)中选取Δdmn为测试函数

α3|dmn|2|∇dmn|2+

(24)

同时又注意到，通过分部积分有

式(23)～(24)的λ倍相加得

(25)

根据引理4，用Gronwall不等式易得下列推论。

推论1下列不等式成立

‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))+‖umn‖L2([0,T];H1(Ω))≤C

(26)

‖dmn‖L∞([0,T];H1(Ω))+‖dmn‖L2([0,T];H2(Ω))≤C

(27)

引理5下列估计成立

‖∂tumn‖L2 ([0,T];H-1(Ω))≤C

(28)

证明由式(18)、式(13)和分部积分可得

|μ|‖∇umn‖L2([0,T];L2(Ω))‖∇φj‖L2([0,T];L2(Ω))+

c‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))‖∇umn‖L2([0,T];L2(Ω))

‖∇φj‖L2([0,T];L2(Ω))+c‖∇dmn‖L∞([0,T];L2(Ω))

‖Δdmn‖L2([0,T];L2(Ω))‖∇φj‖L2([0,T];L2(Ω))，

即‖∂tumn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C得证。

引理6

‖∂tdmn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C

(29)

证明由式(19)知

通过分部积分可得

因此，

‖umn‖L∞([0,T];L2(Ω))‖dmn‖L2([0,T];L∞(Ω))

‖∇ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

|α1|‖dmn‖L2([0,T];L∞(Ω))‖∇dmn‖L∞([0,T];L2(Ω))

‖∇ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+|α2|‖∇dmn‖L2([0,T];L2(Ω))

‖∇ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

|α3|‖dmn‖L2([0,T];L2(Ω))‖ψj‖L2([0,T];L2(Ω))+

‖ψj‖L2([0,T];L2(Ω))。

由Sobolev嵌入易得

‖∂tdmn‖L2([0,T];H-1(Ω))≤C。

上述所有估计的界与m和n无关，根据Sobolev嵌入定理和Aubin-Lions引理知可选择 (ρmn,umn,dmn)的子序列(仍记为(ρmn,umn,dmn))，使得当m→∞或n→∞时

umn⇀u，弱收敛，在L2([0,T];H1(Ω))中

(30)

umn⇀u，弱*收敛，在L∞([0,T];L2(Ω))中

(31)

umn→u，强收敛，在L2([0,T];L2(Ω))中

(32)

umn→u，几乎处处收敛，在L2([0,T];L2(Ω))中

(33)

类似可得

dmn→d，弱收敛，在L2([0,T];H2(Ω))中

(34)

dmn→d，弱*收敛，在L∞([0,T];H1(Ω))中

(35)

dmn→d，强收敛，在L2([0,T];H1(Ω))中

(36)

dmn→d，几乎处处收敛，在L2([0,T];H1(Ω))中

(37)

由上述收敛，易得下列收敛

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

接下来考虑其余非线性项:

因为在L2([0,T];L2(Ω))中，umn→u，强收敛且几乎处处收敛，且在L2([0,T];H1(Ω))中，umn⇀u，据弱收敛引理有下列收敛

(43)

类似地有

(44)

u·∇d)·ψjdxdt=

在m→∞或n→∞时，|I1|→0,|I2|→0,即

(45)

类似可得

(46)

ψjdxdt

(47)

因为φj和ψj是单位正交基，所以对∀φ∈H,ψ∈V,φ(·,T)=ψ(·,T)=0，下式成立

(48)

(49)

至此，方程(1)～(4)的弱解的整体存在性证明完毕。

本文首先通过经典的Faedo-Galerkin方法构造出了方程的近似解，接着对近似解进行先验估计，得到与近似解相关的一致有界估计，最后由紧性理论有相应的收敛性，从而证明整体弱解的存在性。

本文只是该方程的解的适定性的初步研究，仅证明了该方程在二维空间上弱解的存在性，对于弱解的唯一性及正则性等适定性问题还没有做出相应的研究，而且关于更高维空间里的相应问题也是值得研究的。后续研究将继续致力于解决上述问题。

致谢感谢广州大学数学与信息科学学院教师王光武、蒲学科对本论文的悉心指导。

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