基于开裂荷载为界点的混凝土应力-应变关系新表达

郭建博 ，杨阳 ，董芸秀

(1. 陇东学院 土木工程学院，甘肃 庆阳 745000；
2. 甘肃省高校黄土工程性质及工程应用省级重点实验室，甘肃 庆阳 745000)

作为本构关系的应力-应变方程是材料最基本的物理方程，对其结构承载力计算、延性分析和受力全过程模拟具有重要意义。目前，混凝土常用的受压应力-应变关系大多采用分段表达的形式，且以强度峰值为界。例如规范中采用的曲线[1]，以及HOGNESTAD等[2-5]提出的曲线。然而，如此分段描述尽管与试验结果符合较好，但可能给正截面受弯承载力计算带来麻烦，尤其是在多种材料共同工作时，计算分析过于复杂，这给研究及应用带来麻烦。为了简化混凝土梁正截面受弯承载力的计算过程，本文探索一种应力-应变关系分段表达新方式——以混凝土开裂作为分界点，在承载力极限状态，无需考虑混凝土的应变是否过了强度峰值，因而可以采用统一的函数式进行计算，这种新的分段表达式用于多种材料共同工作的情形将简化承载力计算过程。实际工程中，碳纤维增强复合材料(CFRP)由于具有轻质、高强的优点[6]，广泛应用于工程加固中。采用CFRP对钢筋混凝土结构进行抗弯加固，目前主要使用胶粘剂将纤维片材粘贴在构件上(图1)，实现两者共同受力，该方法简便、高效，经验证，CFRP加固钢筋混凝土梁的承载能力得以大大提高[7]。然而，使用传统应力-应变方程对其承载力进行计算过程较为复杂。本研究基于上述背景，将所提分段应力-应变曲线应用于CFRP加固钢筋混凝土受弯构件正截面承载力分析中，验证新曲线的合理性和适用性，为CFRP加固混凝土梁的承载力计算提供理论指导。

混凝土受压时的应力-应变关系，通常认为具有下列特点[4]：

1) 曲线通过原点；

2) 曲线最高点对应混凝土单轴抗压强度；

3) 曲线最高点处的切线为水平线，即曲线最高点处的斜率等于0；

4) 曲线过了直线段后的上升段的斜率逐渐减小，即曲线的2阶导数小于0；

5) 曲线原点切线的斜率对应受压混凝土的原点模量，其值不应小于混凝土的弹性模量。

典型曲线如图2所示，图中C点为曲线顶点，D点为下降段处曲线拐点，E点为下降段曲率最大点。

为了寻求应力-应变关系的数学表达式，已有不少学者提出了不同的曲线方程，如图3所示[5]。

鉴于混凝土受压应力-应变曲线形状的复杂性，很难采用统一的连续函数进行全过程描述，若不顾及应变很大时曲线走向的变化，DESAYI等提出的方程式是可行的[5]，但其中包含的有理分式和指数形式均不便于积分运算和分析求解。此外，CHEN等[8]所提曲线为三角函数形式，积分过程虽简便，但承载力的求解过程仍较为繁琐。

目前更普遍的做法是分段表达，且分界点都取在强度峰值处，如HOGNESTAD等[2-5]所提曲线。这样做的共同缺点在于，对受弯构件正截面承载力进行理论分析时，弯曲破坏极限状态若不以混凝土压碎为标志(例如CFRP加固钢筋混凝土梁发生CFRP拉断破坏时)，受压区合力大小及位置坐标必须根据边缘压应变是否超过ε0而采取不同的表达式，因此计算不够方便。

图3中各曲线在上升段实际上差别不大，过强度峰值后则不然，RUSCH[4]提出的关系式甚至没有下降段，到达强度后为一水平直线。之所以这种差异能被接受，是因为下降段的走向对承载力计算的结果影响不大，所以规范采用等效矩形图也是可行的。

现有应力-应变曲线大多仅满足了混凝土应力应变曲线一般特征的前4条，而最后一条混凝土的原点模量不应小于其弹性模量并未满足(此结论通过数学求导的方法求得原点处切线模量，将之与弹性模量相比得出[9])，这说明一些常用曲线仍然不能精确描述混凝土受压应力-应变关系。

鉴于此，在允许下降段存在误差的情况下，本文提出一组完全满足混凝土受压应力-应变关系曲线一般特征的新方程。

新方程对混凝土应力-应变关系仍然采取分段描述的方式，不同于以往的做法是以开裂为界，混凝土出现裂缝前采用线弹性关系，开裂后采用二次函数曲线，不仅考虑了混凝土的适应性，同时也可用作裂缝预判。

通过拟合，混凝土应力-应变关系前段近似采用直线描述，可以减少受力全过程早期模拟的工作量；
后期不在强度峰值处分段，能够简化正截面受弯承载力计算，原因是弯曲破坏极限状态不以混凝土压碎为标志时，受压区合力大小及位置可以采用统一算式，不必根据边缘压应变是否超过ε0而采取不同算式。

混凝土通常在应力达到(0.4～0.5)fc时开裂，偏低选取开裂点应力为0.4fc，此前采用直线段可以较好描述混凝土开裂前的应力-应变关系。

如前所述，对下降段的精度要求可以适当放松，通过查阅文献，并观察大多经典曲线的走向，最终根据不同的混凝土等级，使极限应变时抗压强度值处于(0.50～0.65)fc之间。

对常用曲线进行拟合，并根据开裂点以及曲线的一般条件探索了易于进行计算的二次曲线，以开裂为界的混凝土受压应力-应变关系曲线的表达新方式如下：

其中：E为混凝土的弹性模量(同混凝土2014规范中取值)；
fc为混凝土立方体抗压强度代表值，令计算所得值见表1。二次方程曲线系数a，b和c则根据混凝土受压应力应变曲线的一般特点通过计算得到，其取值为

表1 曲线中的系数取值Table 1 Value of coefficients in the curve

式中：x表示应变与峰值应力相应应变的比值；
y表示应力与峰值应力的比值，即x=ε/ε0，y=σ/fc；
混凝土轴心抗压强度代表值fc=0.76fcu，其中fcu取为混凝土立方体轴心抗压强度平均值；
峰值应变ε0取为0.002；
极限应变εcu取为0.003 3。

曲线的直线段斜率与弹性模量成正比，因此可根据不同等级混凝土所对应的弹性模量分别取值，从而使该曲线实用性大大增加。由于高强混凝土的性能往往有所不同，故此处仅分析强度等级不超过C50的普通混凝土。

在直线与二次曲线的分界点处，虽然曲线的斜率发生了微小改变，但这与混凝土开裂时刚度存在变化这一点相符合，即使曲线在此处不光滑也并无太大影响。为方便计算查阅、简化计算工作量，本文对C15～C50强度混凝土的曲线系数取值列于表1。

为了研究新曲线的可取性，将新曲线与经典曲线进行对比，如图4所示。

鉴于经典曲线的下降段差异较大，因此将以强度等级为C30混凝土为例的新曲线与经典曲线在上升段取6点(x=0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0)，将应力与峰值应力的比值进行对比。经过计算，新曲线与DESAYI，RUSCH，HOGNESTAD，SAHLIN和YOUNG曲线误差平均值分别为-0.94%，2.55%，2.55%，-4.35%，7.93%。其中，新曲线与DESAYI，RUSCH及HOGNESTAD曲 线 在 上 升 段 取值相差极小，与SAHLIN与YOUNG曲线在取值点处的误差在可接受范围内，从而验证了该曲线与经典曲线总体上差异不大。新曲线下降段与HOGNESTAD非常接近，这同时说明了该曲线下降段的合理性。

3.1 概述

外贴式CFRP加固钢筋混凝土梁的弯曲破坏在CFRP黏贴长度足够长、端部锚固可靠时发生，以混凝土压碎或CFRP拉断为极限状态标志，如图3所示。此时存在3种可能的弯曲破坏形式：钢筋屈服前混凝土压碎；
钢筋屈服后混凝土压碎；
钢筋屈服后CFRP拉断[10-12]，分别记为破坏形态a，b和c。本文所提新曲线对于3种破坏形态的受弯承载力均适用。其中破坏形态c是目前外贴式CFRP加固混凝土梁弯曲破坏的主要形式，其发生不以混凝土压碎为标志，此时采用本文提出的新关系式将给相应受弯承载力计算带来方便，简化计算量。

对于CFRP外贴加固钢筋混凝土梁，在抗弯承载力的计算过程中，所作基本假定有5点：

1) 平截面假定；

2) 受拉区混凝土不承担拉应力；

3) CFRP的应力-应变关系为线弹性，拉应力σf的函数表达式为σf=Efεf；

4) CFRP与混凝土之间黏结可靠，无滑移；
混凝土的应力应变曲线取为新曲线；

5) 钢筋的应力表达式如下：

当0≤εs≤εy时，σs=Esεs，εy=fy/Es；
当εs≤εy时，σs=fy。

根据以上基本假定，并考虑这种破坏形态的特点，可得出如下应力-应变关系：εc＜εcu；
εs=εy；
σs=fy；
εf=εfu；
σf=Efεfu。

同时，根据平截面假定和无滑移假定，有：

CFRP加固梁截面应力-应变分布如图6所示，由力和弯矩的平衡条件得：

根据曲线进行积分得到式(3)中C的计算公式，从而推导出受弯承载力Mu的具体计算公式。分别采用常用曲线：过镇海曲线和新曲线来得到受弯承载力Mu。

3.2 采用过镇海关系式的计算

为了使新曲线推导出的结果更具说服力，首先介绍常规做法：依据常用的过镇海曲线推导得出受弯承载力。接着，将使用新曲线得出的受弯承载力与之进行对比。

过镇海曲线表达式[13-14]如下：

表2 过镇海全曲线方程参数的选用Table 2 Selection table of equation parameter of Zhenhai Guo’s curve

CFRP拉断时，混凝土的应变εc可能还未达到峰值应变，也可能超过峰值应变但未达到极限应变，因此对过镇海曲线这种以峰值应变为界的分段表达需考虑这2种情况分别进行讨论。

过镇海曲线所提应力应变关系分两端用不同的函数式表达，故需根据受压区边缘应变的大小，分2种情况通过积分来得到式(6)和式(7)所示的C和yc的计算公式[11,15]。

当εc≤ε0时

考虑式(2)，根据式(6)和式(3)，可得出x0和εc。接着根据x0求得yc，然后代入式(4)中求得Mu。由于εc未知，故采用过镇海曲线分析承载力时需分2种情况进行积分计算，其过程较为复杂和困难。

3.3 采用本文新关系式的计算

本文新曲线可用于计算FRP加固梁在破坏形态a，b和c时的受弯承载力。其中，当弯曲破坏极限状态不以混凝土压碎为标志时，即破坏形态c，新曲线可简化正截面受弯承载力的计算。本节以新曲线为依据，推导此时受弯承载力的算式，并与用过镇海建议的曲线推导得出的公式和试验结果进行分析对比，以验证其准确性。

由于新关系曲线在混凝土开裂后采用一个表达式，故求解时无需分εc≤ε0和ε0＜εc≤εcu2种情况进行积分计算，仅用一个表达式即可。

参照3.2中的步骤，通过积分来求得C和yc，分别如式(10)和式(11)所示。

其中，令

式中：εa为曲线分界点处混凝土的应变值(与式(1)相对应，其大小为0.4/k)，根据不同的混凝土强度而变化，取值见表3。

表3 分段处应变εa取值Table 3 Value of εa in sectional position

考虑式(2)，将式(10)代入式(3)，并根据不同混凝土强度的εa值，可解出x0及εc。

接着求得yc，再代入式(4)求得极限弯矩Mu。

运用本文探索的混凝土应力-应变关系求解极限弯矩，计算积分无需分段，较规范及现有常用的分段曲线进行计算更为方便。

3.4 计算结果比较

为验证上述根据新曲线推导出的受弯承载力公式，通过查阅其他研究者的相关文献，从有限的试验资料中除去发生剪切破坏及黏结破坏的试件，得到12根混凝土梁以及外贴式CFRP加固梁弯曲破坏形态的试验数据[16-18]。

采用由本文新曲线推导出的受弯承载力公式进行计算，同时与过镇海曲线得到的计算结果和试验所得数据产生对比，结果见表4。

表4 加固试验梁极限荷载计算值与实测值比较Table 4 Compare calculative value with ultimate value of ultimate load in reinforcement test

结果表明，运用新曲线计算得出的试验梁极限荷载计算值与过镇海曲线计算得出的结果及实测值差别均不大，且与实测值之比的误差平均值为1.75%，采用过镇海曲线计算得出的结果与实测值之比的平均值为2.91%，说明根据梁的破坏形态采用本文曲线进行计算所得的承载力与试验结果比较吻合。

1) 本文探索的曲线满足混凝土受压时应力-应变关系的一般特点，适用于C50及以下各种强度的普通混凝土。

2) 运用新的混凝土受压应力-应变关系曲线，推导CFRP外贴加固钢筋混凝土梁的弯曲破坏时不以混凝土压碎为标志的破坏形态(钢筋屈服后CFRP拉断)的承载力公式，较采用常用分段曲线——过镇海所提曲线推导出的承载力公式更为简便。

3) 将基于新曲线得到的受弯承载力公式相关试验所得的数据分别进行对比，结果吻合较好，表明本文所提曲线适用于CFRP外贴加固混凝土承载力计算。

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