2019年中科大自主招生不等式试题的证明、变式及推广
刘远桃 陈明万 唐明坤
(贵州师范大学数学科学学院 550025)
分析 此题是一道分式不等式证明题,每个分式项的分子都是一个二次单项式,分母都是二项式,由整式和根式组成,各分式项结构对称.由此入手,想到将根式化为整式,再利用基本不等式、权方和不等式等进行证明.
证法1由基本不等式和权方和不等式得
评注此证法利用基本不等式将式子中各项的分母代数式有理化,再利用权方和不等式进行放缩,凑出(a+b+c)项,将条件式a+b+c=3代入得到证明.
证法2由柯西不等式得
评注此证法利用柯西不等式将原不等式进行转化,得到一个新的放缩不等式,再利用三元基本不等式求出放缩值的最小值,从而得到证明.
评注此证法利用基本不等式将式子中各项的分母代数式有理化,结合条件式a+b+c=3将原不等式进行放缩,再利用函数凹凸性和琴生不等式求出放缩后的最小值,从而得到证明.
评注此证法利用基本不等式将式子中各项的分母代数式有理化,结合条件式a+b+c=3将原不等式进行放缩,再利用切线不等式求出放缩后的最小值,从而得到证明.
分析变式1与变式2是将试题中不等式的分母代数式进行整体轮换得到的,其证明方法与试题的证明完全一致.此外,还可以对试题中不等式的分母代数式进行部分轮换,得到其他的轮换不等式.
评注此证法利用基本不等式的推广,结合条件式(a+b)(b+c)(c+a)=1,求出a+b+c的最小值,再利用基本不等式和权方和不等式将原不等式放缩,凑出(a+b+c)项,从而得到证明.
推广1 已知a,b,c,d>0,满足a+b+c+d=3,求证:
分析将试题中的三元推广到四元,推广形式不变.
推广2 已知a,b,c,d>0,满足a+b+c+d=3,求证:
分析将试题中的三元推广到四元,同时将分母代数式变成二元形式得到.注意,后面的推广仍然可以将分母代数式保持在二元形式,下面不再赘述.
分析将试题中的三元推广到n元,推广形式不变.
分析将试题中的三元推广到n元,条件式的结果从3推广到t,推广形式不变.
分析将试题中的三元推广到n元,各项式子中分子的指数从2推广到m,条件式的结果从3推广到t.
推广1~推广5的证明方法是一样的,下面给出推广5的证明,推广1~推广4的证明过程不再赘述.
由n元基本不等式和权方和不等式,待证不等式左边
推广是数学学习、数学研究和数学发展的重要手段和途径.在数学学习中,推广可以加强对观察、分析、比较、综合、概括、归纳、类比和发现能力以及创新意识等的培养;
在数学研究中,推广可以加深对问题本身的认识和理解,可以产生新问题和新方法;
在数学发展中,推广可以引导数学发现,可以产生新定理和新理论[1].
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