非药物干预措施对COVID-19模型的影响

白雪花,薛亚奎

(中北大学 理学院, 太原 030051)

COVID-19是一种传染性极强的疾病，在全世界范围内引起了持续和重大的公共卫生问题，2020年1月2日至2021年6月19日，COVID-19的迅速传播已导致全球约有1.8亿确诊病例和近400万死亡病例[1]。COVID-19主要通过呼吸道飞沫或密切接触传播，并且人接触了带有病毒的物品也可能被感染，一旦感染COVID-19，患者最初没有明显的临床症状，称为无症状感染，在特定时间后，无症状感染会发展为有症状感染[2-4]。为了预防和减少COVID-19的传播，除了接种疫苗外最关键的做法是采取一些非药物干预措施，如保持社交距离、自我隔离或隔离感染者、戴口罩、追踪密切接触者和大面积核酸检测等[5]。保持社交距离的目的是减少社区中人与人之间的互动，由于无症状感染者通过飞沫传播需要一定距离，因此保持严格的社交距离可以减少疾病的传播。追踪密切接触者和核酸检测是对密切接触者进行限制或隔离，目的是监测他们的症状并确保及早发现病例，防止疾病的进一步传播[6-7]。

数学模型对传染病的控制有重要意义，最近，许多专家利用不同的数学模型来研究COVID-19的传播模式[8-10]。Annas等[11]提出SEIR模型，该模型使用印度尼西亚COVID-19病例的二次数据来预测未来病毒的流行趋势。Rafiqa等[12]提出双峰态SITR模型，该模型通过将易感人群划分为2个不重叠的亚群体来模拟COVID-19的传播。Fanelli等[13]提出了基于非线性微分方程的数学模型，研究了中国、意大利和法国等疫情严重国家的COVID-19感染动态。Atangana[14]提出了新的分形-分数阶微分算子和积分算子的数学模型，探讨了封锁社会对COVID-19的影响。

无症状感染是COVID-19最大的特点，也是控制疾病传播的关键，而预防COVID-19的传播， 除接种疫苗外唯一的方法是实施非药物干预措施。因此建立了包含无症状和有症状感染的SEIAR模型，研究了保持社交距离、追踪密切接触者和核酸检测对COVID-19动态的影响。

将总人群N(t)分为5类：易感者S(t)、潜伏者E(t)、有症状感染者I(t)、无症状感染者A(t)、恢复者R(t)，则N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+A(t)+R(t)。在被感染的人群中，有症状感染者可以将病毒传染给其他人;无症状感染者不表现出任何症状，但会将病毒传染给其他人。基于以上讨论，建立以下模型：

(1)

式中：Λ为出生率；
d为自然死亡率；
β1为有症状感染者的有效接触率；
β2为无症状感染者的有效接触率；
δ为潜伏者到染病者(包括有症状感染者和无症状感染者)的转移率；
潜伏者分别以τ和1-τ的比例转移为有症状感染者和无症状感染者；
d1为因病死亡率；
γ1为有症状感染者的恢复率；
γ2为无症状感染者的恢复率。

根据下一代矩阵法[15]计算基本再生数R0，可得

式中：

R1表示有症状感染者产生COVID-19新感染的平均数，R2表示无症状感染者产生COVID-19新感染的平均数。

定理1当R0>1时，系统(1)在Ω内存在唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*,A*,R*)。

证明令系统(1)的方程右端等于0，求解得

式中：

(2)

当R0>1时，有λ*>0，即系统(1)在Ω内存在唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*,A*,R*)。

定理2当R0<1时，系统(1)的无病平衡点P0在Ω内是局部渐近稳定的。

证明系统(1)在无病平衡点P0处的Jacobian矩阵为：

矩阵J(P0)的特征方程为：

(λ+d)2(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0

式中：

a1=3d+δ+d1+γ1+γ2>0

a2=(d+δ)(d+d1+γ1)(1-R1)+(d+δ)(d+γ2)(1-R2)+(d+γ2)(d+d1+γ1)

a3=(d+δ)(d+d1+γ1)(d+γ2)(1-R0)

根据Routh-Hurwitz判据，有

H1=a1>0

H2=a1a2-a3=[(d+δ)2(d+d1+γ1)+(d+δ)(d+d1+γ1)2](1-R1)+

[(d+δ)2(d+γ2)+(d+δ)(d+γ2)2](1-R2)+(d+γ2)(d+d1+γ1)2+

(d+γ2)2(d+d1+γ1)+2(d+δ)(d+d1+γ1)(d+γ2)

H3=a3H2

当R0<1时，ai>0,i=1,2,3，Hj>0,j=1,2,3，即系统(1)的无病平衡点P0在Ω内是局部渐近稳定的。

定理3当R0<1时，系统(1)的无病平衡点P0在Ω内是全局渐近稳定的。

证明构造Lyapunov函数：

V=B1E+B2I+B3A

式中：Bi,i=1,2,3表示未知的正数。

计算V沿着系统(1)的导数，可得

B1[β1I+β2A-(d+δ)E]+B2[τδE-(d+d1+γ1)I]+B3[(1-τ)δE-(d+γ2)A]=

[B1β1-B2(d+d1+γ1)]I+[B1β2-B3(d+γ2)]A+[B2τδ-B1(d+δ)+B3(1-τ)δ]E=

令

则有

定理4当R0>1时，系统(1)的地方病平衡点P*在Ω内是局部渐近稳定的。

证明使用中心流形理论[17]来证明P*的局部渐近稳定性。

系统(1)在P0处的Jacobi矩阵为：

当R0=1时，选择β2作为分支参数，则有

计算得

为验证以上结果，使用Matlab对系统(1)的结论进行数值模拟，验证无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，研究不同参数对R0和感染者的影响，具体情况如下：

图1模拟了无病平衡点的稳定性，取参数Λ=0.25,d=0.08,d1=0.002,γ1=0.7,γ2=0.2，β1=0.4，β2=0.3。图1(a)取δ=0.2,τ=0.4，此时R0=0.605 3<1，可以看出无病平衡点P0在Ω内是全局渐近稳定的。通过追踪并隔离密切接触者可以极大减少疾病传播，从而减小潜伏者到染病者的转移率δ，通过核酸检测可以及早发现无症状感染者，从而增加潜伏者转移为有症状感染者的比例τ。图1(b)取δ=0.02,τ=0.9,此时R0=0.054 3<1，可以看出无症状感染者和有症状感染者趋于消亡的时间明显缩短。

图1 无病平衡点的稳定性

图2模拟了地方病平衡点的稳定性，取参数Λ=0.25,d=0.08,γ1=0.7,γ2=0.2,β1=0.6，β2=0.5，d1=0.002。图2(a)取δ=0.2,τ=0.4,，此时R0=2.124 6>1，可以看出地方病平衡点P*在Ω内是局部渐近稳定的。同样，通过改变δ和τ，来探讨追踪密切接触者和核酸检测对COVID-19传播的影响效果。图2(b)取δ=0.1,τ=0.5,此时R0=1.358 9>1，同样可以看出无症状感染者和有症状感染者趋于稳定的时间明显缩短。由图1和图2可以看出，通过追踪隔离密切接触者并对易感人群进行核酸检测来寻找无症状感染者，可以明显缩短疾病消亡和趋于稳定的时间，进而有效控制COVID-19的传播。

图2 地方病平衡点的稳定性

图3模拟了有效接触率β1和β2取不同值时对总感染人数I(t)+A(t)的影响，取与图1(a)相同的参数。图3(a)中β1分别取0.9、0.6、0.3、0.1，分析了轻度社交距离(β1=0.9)、中度社交距离(β1降低到0.6)、相对严格的社交距离(β1降低到0.3)和非常严格的社交距离(β1降低到0.1)对疾病传播的影响。从图3(a)可以看出，加强社交距离可以显著降低总感染人数和疾病消亡的时间。因此，政府应该实施严格的社交距离措施，减少人与人之间的接触，呼吁大家外出要戴口罩并保持2 m或2 m以上的距离。图3(b)中β2分别取0.5、0.4、0.3、0.1，可以看出减少有效接触率β2，总感染人数显著减少，疾病消亡的时间明显缩短。这表明，无症状感染者正在严重加重疾病负担，因此，所有密切接触者一定要及时做核酸检测并隔离14天以上。

图3 有效接触率β1和β2对总感染人数的影响

研究了一类包含无症状和有症状感染的COVID-19模型，考虑了非药物干预措施对传染病传播的影响。计算了基本再生数R0，并证明了地方病平衡点的存在性，运用Routh-Hurwitz判据和LaSalle不变集原理，证明了当R0<1时，无病平衡点P0是局部渐近稳定和全局渐近稳定的；
运用中心流形理论，证明了当R0>1时，地方病平衡点P*是局部渐近稳定的。最后通过数值模拟对结论进行验证，结果显示，实施非药物干预措施将显著减少累积的感染病例。因此，在防疫期间，应严格执行基本的非药物干预措施，特别是保持社交距离和及时追踪隔离密切接触者，以减少疾病传播。

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