一种用于齿轮齿面偏差评定的二分圆逼近法

周雯超,朱晓春,黄家才,李毅搏

(1.南京工程学院工业中心、创新创业学院, 江苏 南京 211167;2. 南京工程学院自动化学院, 江苏 南京 211167)

齿轮加工质量直接影响其使用性能指标,齿面偏差测量与评定一直受到人们关注.随着现代制造业的发展,齿轮在汽车工业、风力发电、船舶航海、飞行器制造、机械加工等重要领域有着广阔的应用前景,对其高效、高精度的测量及评定要求也越来越高.因此,对齿轮齿面偏差测量、评定的研究具有重要的理论意义和工程应用价值.

在齿轮误差评定方法中,很多学者进行了大量研究并取得一系列成果.文献[1]借助差曲面来进行齿轮齿面偏差评定,但没有给出实际测量点在设计齿面法线方向上偏差的具体求解方法;文献[2]根据点到渐开螺旋面距离公式求解各点的三维齿廓误差,但该算法难度大,求解效率低;文献[3]通过NURBS曲面参数化模型,进行法线与NURBS 曲面的求交运算,求解方程较为复杂;文献[4]通过采集的测量点作法线与理论齿廓线交于一点,计算两点的法向距离,但没有给出该交点的确定方法.

从目前的研究现状来看,齿面偏差评定要解决实际齿面与设计齿面间的偏差计算问题,在对齿轮齿面获取实际测量点数据后,偏差计算可转化为实际测量点到设计齿面最短距离的求解.常用的方法有穷举法、目标优化算法和数值算法.穷举法需要大量实际数据,计算效率低,精度不能满足实际要求;目标优化虽然能得到理想情况下的全局最优值,但计算量大,求解速度慢[5];常用的数值算法有网格法和分割点逼近法,算法的复杂程度和计算精度还需进一步优化[6-8].为了能够更准确分析齿轮的加工精度,寻找一种高效率、高精度的计算方法意义重大.

本文设计了一种用于齿轮齿面偏差评定的二分圆逼近法.如图1所示:以直齿轮齿面偏差为研究对象,首先建立齿轮齿面的设计模型;在此基础上,给出齿轮齿面偏差的评定模型;然后针对实际测量点到设计齿面最短距离的快速求解问题,提出二分圆逼近法,将三维空间转换成二维平面进行计算,降低了计算复杂度;最后进行仿真和实际环境验证,实现快速准确的齿轮齿面偏差评定工作.

图1 齿面偏差评定流程

为了评定齿轮齿面偏差,根据齿轮的形成原理和齿轮参数,本文采用直角坐标法建立设计齿面模型.建立渐开线齿廓的直角坐标方程.如图2所示,rb为基圆半径,点A为渐开线起点,点K为渐开线齿廓上的任一点,BK为基圆的切线(即为发生线),ξ为展开角,θ为渐开线齿廓的起始角,可得渐开线齿廓上点K的坐标方程为：

(1)

图2 直角坐标系中渐开线轨迹

在得到渐开线齿廓的直角坐标方程之后,建立齿轮齿面的设计模型.如图3所示,直齿轮端面圆心与齿轮坐标系原点o重合,中心轴与齿轮坐标系z轴重合.直齿轮端面与xoy平面重合,渐开线的起点为A0,与x轴所形成的夹角记作θ.

图3 设计齿面建模

取齿轮齿面上一点记为K,设点K在齿面上的空间坐标为(x,y,z),ξ为点K的展开角,以逆时针方向的角度为正向角.平行于xoy平面取一个渐开线齿廓,其齿面起点为A1,A1在xoy平面上的投影与A0重合.记齿轮的齿宽为b,则点K的z轴坐标为z=bi,bi∈[0,b],可得齿轮齿面S上点K的坐标方程为：

(2)

同理可得,点K在齿面S′上的坐标方程为：

(3)

记第1个轮齿的齿廓起点角度为θ0,则第j个轮齿的齿廓起点角为：

(4)

式中,z0为齿轮的齿数.

通过式(3)可得到轮齿j的所有齿面坐标,设计齿轮齿面建模完成.

齿轮齿面偏差是指在端平面内实际齿轮齿面偏离设计齿轮齿面的量,该量的计值是过实际加工齿轮齿面到设计齿面的法线距离.以实际齿轮齿面测量点为基准,过其法向量找到设计齿轮齿面上与实际齿轮齿面测量点对应的点,对应点之间的距离即为齿轮齿面偏差.

如图4所示:Sc为测量齿面,即测头测量球中心点轨迹面;S为实际齿面,即测量齿面经测头半径补偿后的等距齿面;S*为设计齿面,即根据齿轮参数生成的齿面;点p为在实际齿面上经过测头半径补偿后得到的实际测量点;n为过实际齿面测量点p的法向量;点p*为实际测量点p经过法向量n在设计齿面上的对应点;δ为齿面偏差,即pp*的距离.

为了得到齿面偏差δ,本文将齿面偏差δ转化为实际测量点p到设计齿面S*的最短距离.

图4 齿轮齿面偏差计算原理

在解决实际测量点到设计齿面最小距离的计算问题中,为了降低求解难度,本文提出一种求解实际测量点到设计齿面最小距离的二分圆逼近法.

3.1 二分圆逼近法提出背景

图5 实际测量点到设计齿面示意图

因实际测量点p与点p*始终处于同一高度,对应唯一一条齿廓线,故可将求解实际测量点p到设计齿面的最短距离转化为求解实际测量点p到齿廓线的最短距离,由三维空间转换到了二维空间.

图6 实际测量点到齿廓线示意图

故可将实际测量点p到齿廓线的最短距离划分为两种情况：

2) 当实际测量点p落在区域S2时,δ为实际测量点p到齿廓线的法线距离.

3.2 二分圆逼近法求解过程

图7 二分圆逼近法原理

点p*具体求解步骤为：

(5)

2) 令点p*坐标为(x,y),以(xp,yp)为圆心、r为半径作圆,得逼近圆的方程：

(x-xp)2+(y-yp)2=r2

(6)

与渐开线齿廓方程联立方程组：

(7)

式中,θ为齿廓起始角度.

3) 记式(7)为方程组A,对方程组A求解,① 当方程组A有唯一解时,即有唯一解p*,则r为实际测量点p对应的齿面偏差δ;② 当方程组A有两个解时,将r/2作为新的圆半径,重新联立方程组,记为方程组B;③ 方程组A不存在无解的情况.

4) 对方程组B求解,① 当方程组B有唯一解时,即有唯一解p*,则r/2为实际测量点p对应的齿面偏差δ;② 当方程组B有两个解时,r的范围更新为(0,r/2),此时将r/4作为新的圆半径,重新联立方程组,对方程组进行求解;③ 当方程组B无解时,r的范围更新为(r/2,r),此时将3r/4作为新的圆半径,重新联立方程组,对方程组进行求解.

5) 不断重复步骤4)的过程,即通过不断把r的区间范围一分为二,使区间的两个端点逐步逼近,直至求解出点p*的唯一解.

为了验证提出算法的可行性和有效性,本文选定齿数z=24、模数m=4.5 mm、齿宽b=20 mm、压力角α=20°、齿轮精度为IT6的标准直齿轮作为试验对象.设计齿面建模中,设定齿廓起始角θ=0°.

在Matlab 2016a环境中对设计齿轮齿面进行仿真建模,并选取一系列理论测量点,其设计模型如图8所示.设仿真的最大齿轮齿面偏差为10 μm,测量值在其范围内随机生成,模拟实际测量布点,如图9所示.利用二分圆逼近法求解齿轮齿面偏差,最终得到最大偏差为10.09 μm,最小偏差为0 μm,说明本文的评定方法在精度上满足要求.

图8 设计齿轮齿面模型

在搭建的在机测量装置上对齿轮齿面获取一系列实际测量点(在机测量装置已对测量点设置半径补偿).根据已有的理论测量值,在Matlab 2016a环境中模拟设计齿轮齿面与实际齿轮齿面,俯视图如图10所示.利用二分圆逼近法计算出齿轮齿面偏差最大偏差为12.018 μm、最小偏差为0 μm.用JD45齿轮测量仪对同一齿轮齿面进行测量,得到最大齿轮齿面偏差为11.5 μm,最小齿轮齿面偏差为-0.1 μm,表明本文方法测得的齿轮齿面偏差接近真实值,与真实值相差约4.5%.

图9 模拟实际测量布点

图10 齿轮齿面偏差仿真

本文针对齿轮齿面偏差的评定提出一种快速、便捷的二分圆逼近法,以解决评定过程中实际测量点到设计齿面最短距离的计算问题.该方法用圆不断逼近设计齿面上的齿廓线,将三维空间问题转换成二维平面的求解,减少了计算工作量,在求解速度方面有明显优势.将二分圆逼近法在Matlab 2016a仿真环境和实际测量环境中进行齿面偏差评定,并与齿轮测量仪的评定结果对比,证实本文方法快速、准确,从而为齿轮误差测量提供了一种可借鉴的评定方法,有助于提高齿轮的加工精度.

猜你喜欢 渐开线齿面测量点 浮动渐开线花键微动损伤及磨损疲劳预测西北工业大学学报(2022年3期)2022-07-21飞机部件数字化调姿定位测量点的优选与构造算法航空学报(2022年5期)2022-07-04变载荷工况下齿轮齿面的啮合性能研究矿山机械(2022年6期)2022-06-18有限视野下渐开线齿廓测量的坐标系校准*西安工业大学学报(2022年1期)2022-03-29考虑摩擦的螺旋锥齿轮齿面接触应力分析科学技术创新(2021年19期)2021-07-16直刃刀具加工的面齿轮承载接触特性西安科技大学学报(2021年3期)2021-06-17斜齿轮实体模型的精确创建内蒙古科技与经济(2021年1期)2021-03-01浅析冲压件测量点的规划模具制造(2019年10期)2020-01-06热电偶应用与相关问题研究科学导报·科学工程与电力(2019年5期)2019-10-20基于UG软件的渐开线花键的精确建模汽车零部件(2019年9期)2019-10-17

推荐访问:偏差 逼近 齿轮