在变式迁移中厚植“植树问题”模型思想

江西赣州市南康区逸夫小学（341000） 杨娟

“间隔”问题早在第二册的教材中就已出现过，是在“十几减9”练习二的思考题（第12页）中（如图1）。在第三册教材“9的乘法口诀”练习二十的第8题（第82页）中也有出现（如图2）。

图1

图2

这两道题释放出强烈的信号，那就是教材对认识两端都栽树题型中特有的“棵数”与“间隔数”的数量关系，早已埋下伏笔。因此，四年级的学生早已深谙“棵数-1=间隔数”的玄机：无非就是算上端点后减1的问题。数量关系式“间隔数×株距=路长”，充其量就是一个一般“份数乘以每份数”的乘法问题，或者可以看成求几个相同加数的和的简便计算，返璞归真到乘法的起源。同样，“路长÷间距=间隔数”也可以视为除法含义中的“包含除”，看看总长度里面含有几个间距。

为了找到更有力的证据，笔者对学生进行了测评调研，结果表明：已知株距与棵数求路长的答题正确率高达100%；
已知路长求棵数的答题正确率为91.5%，答题错误的4个学生中有2人是将两端的2个端点数直接按一比一的比例转换成间隔数，导致间隔数多加了1，另外2人则无视端点数与间隔数的关系，错把间隔数当成植树棵数。

基于以上现象，笔者设计了“植树问题”第一课时的教学。

笔者出示图2，引导学生读图并提取其中的数学信息后提出一个数学问题。学生能准确捕捉到“株距为5米”这一关键信息，还能提出“整条林荫道从头到尾一共有多长”这一基本问题。学生不但能准确地列出简约的算式，还能解释清楚为什么要这样算，对每一步算式的算理都一清二楚，并牢牢记住“棵数-1=间隔数”这一规律。

【设计意图】如果直接提出植树问题，势必会将间隔数和棵数的关系这一难题抛给学生，而学生也会对这一难题苦恼不已，降低了学习植树问题的热情。而将同一情境换成学生熟悉的问法：将株距设为每份数，将间隔数设为份数，路长设为总数，绕开难题，面对简易的乘法口诀“五九四十五”，学生消弭了距离感，消除了抗拒感，学习动机大大增强。最后，学生通过观察得出“棵数比间隔数多1”的结论。

“植树问题”属于综合实践板块，这样的课程与前后知识的联系微弱，基本上就是独立单设的一个板块，主要是为了训练学生某方面的思维能力。“植树问题”的目标是训练学生在生活中遇到类似实际问题时对加1还是减1的果断研判。“多1”“少1”的错位对应关系在生活中和数学中经常出现，但是没有引起足够的注意，也没有被单独作为一门“显学”来研究，“植树问题”就将这类问题集中暴露出来。正因为如此，如果突然提出棵数与间隔数的对应关系，学生势必一时难以接受，也很难快速回忆起相关知识。而通过与之前的基础知识（如乘除法计算）关联起来，就能让学生自然而然地发现“多1”和“少1”的对应问题。

1.研习例1

题目：中国科考队要在南极科考站旁100米长的隔离墙上插上五星红旗（两端都插），一共要插上多少面五星红旗？

学生初次审题，发现信息不全。教师补充完善：每隔5米的距离插一面五星红旗。

【设计意图】本环节没有直接呈现完整信息，而是故意卖关子，半遮半掩，让学生自己发现，考验了学生的眼力和敏锐性，增强了学生的思维性。通过这种自查自纠的训练，学生全面掌握了植树问题的解题模型结构。

笔者引导学生揣摩题意——为什么要强调“两端都栽”？通过对题意的认真解读，扫清文字上的障碍，避免因为遗漏字词而误解题意。

笔者要求学生先独立解题然后检验。大多数学生选择画图的方法（如图3）。

图3

笔者追问：“能清晰地看出到底有几棵树吗？”促使学生制订化繁为简的策略：先画两个只有几棵树的简图，列出相应算式，然后根据路长为35米这一条件，在不画图的情况下，凭借前面总结的规律和公式，直接运算。这样，“植树问题”的解题模型呼之欲出。

2.研究棵数与间隔数的关系

解答了两道题后，学生对植树问题的整个脉络有了全面的了解，此时，归纳棵数与间隔数的关系则是最后一关。

笔者引导学生用圆点代表树，用线段表示间隔，画图后观察（如图4）。

图4

笔者又请学生用磁贴动态演示两端都栽的情境：你能设法一招暴露间隔数和棵数的差距吗？引导学生用“一一对应”的方法揭示间隔数和棵数之间“多1”与“少1”的关系（如图5）。

图5

3.举例

学生即兴举例，笔者用课件配合演示：借助旗杆、路桩理解“两端都栽”与“两边都栽”的区别；
借助红旗深化理解“棵数”与“间隔数”的对应关系，为解决基本的植树问题清除障碍。

【设计意图】间隔数和棵数的数量关系是植树问题的核心问题，也是植树问题的精华所在，解决这个问题是攻破“植树问题”的第一道堡垒。但是，这一问题需要学生自己发现并掌握解决的窍门，内化理解，而不是死记公式，也不能纠结于“加1”还是“减1”，关键在于通过直观的手段揭示棵数与间隔数的根本关系。因此，采用“一一对应”的画图法，学生就会发现两端都栽的情况下，端点数总比间隔数多1。这为后续研究其他两种类型奠定了基础。

植树问题中间隔数和棵数之间的数量关系与植树方式密切相关，植树方式发生变化，那么间隔数与棵数之间的关键数据就会发生变更，有时加1，有时减1，有时不增不减。正因为存在这样的变数，教学时，教师应有意出示一些信息不全的题目，如遗漏株距这个条件，这样学生在做题时凭借经验和直觉，自会想到寻求株距。株距确定后，学生便能够通过独立思考推理出计算棵数的前提是计算出间隔段数。遇到难点时，教师再一步步引导学生探究发现间隔数与棵数之间的对应关系。学生通过归纳法、直观图示法等各种方法理解间隔数和棵数之间的对应关系存在天然的合理性。最后，在总结规律的过程中，学生也能隐隐约约感觉到两端都不栽和一端栽另一端不栽时，棵数与间隔数会循着类似的规律发生相应的变化。

1.巩固练习

练习环节一方面是帮助学生巩固植树问题的基本模型，另一方面是将生活中的类似问题模型化，将学生心中的固定模型变活，让学生对植树问题做到灵活理解、随机应变，但是又能抓住本质，做到万变不离其宗。

笔者出示习题：某新冠肺炎疫情高风险区域的疫情防控志愿者在为出境人员做核酸检测，相邻两人之间相隔3米。队伍有30米长，一共排了多少人？A.9；
B.11；
C.10；
D.22。

在学生得出正确答案后，教师可追问：“如果要使‘D.22’成为答案，该如何修改题干？”

这样，以现有素材为基础，对其进行变式改编，能充分提高学生对这类问题的识别力：虽然题目情境不是植树，但是本质仍是植树问题。

2.拓展练习

在第八册第三章的“运算定律”的教学中，课本出现两道等差数列问题：①1+2+3+4+…+99+100；
②2+4+6+…+16+18+20。这两题的项数很明确，综合运用加法交换结合律，然后配对凑整即可解题，这是学生熟练掌握的。但对于14+17+20+…+83+86+89这个数列，推算项数异常困难。如果将植树问题中的“核心技术”迁移过来，那么问题就迎刃而解：间距为3，总长为89-14=75，那么间隔数就为75÷3=25，间隔数为25，棵数就为25+1=26。因此，这个数列有26项。由此，笔者把等差数列问题与植树问题巧妙融合，实现各元素对应，扩大了植树问题的应用范围。

笔者出示习题：求这些数列的项数？1，2，3，…，99，100，共（ ）个数；
2，4，6，…，98，100，共（ ）个数；
数列15，20，25，…，75，80，85，共（ ）项。

引导学生按照植树问题的模式去解决问题：在学生求出项数后，笔者追问：“求出项数可以用来干什么？”学生自然联想到影院算座位的情境。

【设计意图】植树问题是一个框架，里面可以“装下”许多内容，只是这一模型一旦“披上”别的“外衣”，学生就很难辨认其真面目。因此，必要的变式训练不但可以拓宽学生的思维，而且有助于加深学生对植树问题本质的认识。

植树问题的本质就是一些间隔数与“点数”之间的特殊对应关系，绳结问题、敲钟问题、插旗问题、排队问题、上楼问题等，都可以归结为植树问题。学生熟悉了植树问题的经典模型后，思维难免会僵化，只有遇到植树情境才会熟练应用植树问题的规律和公式，一遇到变式问题，就会思维受阻。这说明学生只是认识了植树问题的形式，没有领悟植树问题的本质和灵魂。因此，教师要让学生在类比迁移中归纳出植树问题的精髓和本质。

3.备选练习

笔者出示习题：某部队士兵依次出列报数，班长让第一个士兵报数为16，往后每个人报的数比前一个人报的数大2，最后一个人报的数是36，一共有几个人报数？这些数的总和是多少？出示这道题，是为了让学生进一步感受到植树问题辐射面很广，迁移力很强。

植树问题是小学数学中的一个经典问题，在多版教材中均有编排，足可见其重要性和经典性。经典之所以成为经典，是因为其规律具有可塑性，形式具有变通性，模型具有发散性。两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽，三种情境下，棵数和间隔数都具有特定的微妙关系，这就体现了规律的可塑性；
圆周植树问题、封闭路线植树问题中，棵数和间隔数的关系相同，这就体现了形式的变通性；
敲钟问题、绳结问题、上楼问题，都可以归为植树问题，这就是植树问题的发散性。可见，变式训练，是教学植树问题的制胜法宝。

综上，学生充分经历了模型创建和模型应用后，真正把握了植树问题的内涵。这个模型思想一旦厚植于学生头脑中，学生的潜力就会得到无限激发。

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