赏析2022,年新高考I,卷三角函数大题

广东省中山市桂山中学(528463) 蔡晓波

题目(2022 年新高考I 卷第18 题) 记∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

笔者有幸参与了今年的高考阅卷,阅卷的题目就是该题.该题属于中等难度题目,满分12 分,然而阅卷时查看到的平均分却不到3 分.为何平均分如此之低呢? 从考生的答题情况分析,主要原因有两个: (i) 对题目中的条件感到无从下手,从而第一问都未能拿到分数;(ii)有些考生能够使用题目的条件解答第一问,但是第二问不会.

此题关键与难点之一在于对条件(∗)的分析,而从该条件的结构,不难发现此题与新教材人教版必修一第183 页例7[1]极其类似,系同根同源.该例题是一个经典例题,在旧教材人教版必修四第19 页[2]也有该例题.因此,可见在日常教学中,教师要重视课本的例题与练习题.

3.1.条件(∗)的多角度分析

本题的难度之一来自于题目中条件(∗)的分析,那么我们下边就来看看可以从哪些角度来分析这个条件.

角度2 (倍角+同构思想)从角度1 分析过程可知=tanB,也就是条件等号的右边可化为正切,左边也有类似的结构,那么能否也利用倍角公式化为正切的结构呢,由此可得如下思路.

至此,我们得到A,B的关系,结合A+B+C=π,那么此题不但第一问迎刃而解,第二问的思路也触手可及.

角度3 (诱导公式+同构思想)从角度2 的思路我们可知,该思路抓住的是条件等号的左右两边尝试化为正切,而在转化等式的左边时,利用了倍角公式,过程略显繁琐,如果我们进一步观察,我们不难发现左右两边的结构实际上有一定类似之处,不同之处在于条件中等号左边分子分母的函数名与等号右边不一致,而通过诱导公式我们是可以化为一致的,于是可得如下思路.

角度5 (溯源类比得思路)在[1]中的第183 页例7 的证法2 中,实际是采用了分析法得到的思路,也就是把等式进行交叉相乘变形,既然此题的条件与之极其类似,我们不妨也采用交叉相乘进行尝试,于是可得如下思路.

由(∗)可得:cosA+cosAcos 2B=sin 2B+sin 2BsinA.故cosA+cos(A+2B)=sin 2B.即cos((A+B)−B)+cos((A+B)+B)=2 sinBcosB.展开可得: cos(A+B)cosB=2 sinBcosB.依题意可得:,故可得:cos(A+B)=sinB.故sinB=−cosC.

由此得到的结论与角度1 得到的结论相同,此思路关键在于首先要熟悉并联想到教材的题例,并且会对其方法进行类比运用;其次,变形之后能找到角与角之间的关系,即A=(A+B)−B,A+2B=(A+B)+B.合而归一,殊途同归.

3.2.第二问的思路分析

思路1(利用三角函数关系消元) 根据对题目条件的分析思路,我们不难发现,角度1 和角度5 得到了sinB=−cosC的结论,由此我们不难得到如下思路.

由sinB=−cosC可知C为钝角,B为锐角,且不难得出: sinC=cosB,故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sin2C −cos2C,故

思路2(利用角度关系消元)根据对题目条件的分析思路可知,角度2,角度3,角度4 得到了=A+2B的结论,再结合A+B+C=π,我们便可轻而易举的对角度进行消元,由此我们不难得到如下思路.

思路2 利用了角度之间的关系进行了消元,把A,B均表示为C,从而达到消元的目的,读者可以尝试把B,C均表示为A或者把A,C均表示为B的消元方法.

根据我们对题目条件的多角度分析,以及对第二问的两种思路分析,读者可以自己去整理出本题的多种做法,这里不再赘述.

4.1. =A+2B 的几何意义的探索

从前面对题目的条件的分析可知由(∗)可得出=A+2B的结论,它的几何意义为直角三角形ABD中(如图1),∠D为直角,∠ABD的平分线BC交AD于C,则∆ABC即为满足要求的三角形.

图1

显然,不失一般性地,我们可以认为|AB|=2r是一个定值,A,B为定点,则此时D在以AB为直径,AB中点E为圆心的圆上运动,利用几何画板的轨迹跟踪功能,我们可以得出C的运动轨迹的形状大致为如图2 中呈树叶型状的曲线,十分优美,那么该轨迹(下面我们称为曲线M)的方程是什么呢?

图2

图3

根据以上分析,我们可得如下结论:

图4

结论1A,B为平面内两个定点,且|AB|=2r,平面内动点C满足=0,设∠ABC的角平分线BP交AC边于P,我们称动点P的轨迹为曲线M,若以B为极点,射线BA为极轴建立极坐标系,设P(ρ,θ),则曲线M的方程为:

曲线M的形状十分优美,呈树叶状.|AB|显然为曲线M上任意两点距离的最大值,故可称AB为曲线M的长轴.

4.2. 的等价几何意义的探究

至此,我们完成了对2022 年新高考I 卷第18 题的解法探究与发散性探究,不但发现了数学美,而且为我们日后的教学工作提供了一些参考建议.

1.重视课本,学会类比迁移.有时我们往往有一种错觉,觉得课本的例题、练习题太过基础,然而,课本的例题、练习题是经编写组专家们精挑细选得到的,它往往具有很强的代表性,是很多高考经典题目的母题和根源所在,因此在日常教学中,我们要重视课本的例题与练习题,让学生吃透,弄透课本的题目.

2.教学中要注重学生核心素养的培养.在新课标,新高考的背景下,我们教学要注重学生核心素养的培养.比如本题对题目中条件的分析就充分的考查了一个学生的逻辑推理、数学运算、数据分析等方面的学生素养.如果学生在平常的学习中,仅仅是题海战术,仅仅是记住了一些常规套路题目,那么这样的学生在面对这样的高考题就很可能束手无策.

3.健全学生心理健康教育.高考的题目往往会让考生有一种“新”的感觉,而学生容易见“新”生“慌”.因此,在日常数学教学过程中,要加强心理健康教育,让学生遇到“新”问题能够冷静思考,仔细分析.比如本题很多学生不会做的一个主要原因就是考试时候未能静下心来仔细思考题目中的条件.

4.善于探究,深度贯彻核心素养培养,挖掘数学美.对一个题目的推广探究或者发散性探究,往往能够让一个学生的数学核心素养得到全方位的提高,还可以发现数学美,让学生更加觉得数学好玩,更加爱上数学.

比如本题在对“=A+2B的几何意义的探索”就能让学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象方面的核心素养能力得到很好的锻炼.而通过探究得出的曲线M的形状又能让学生深刻的体会到数学美.

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