同构对偶巧化简,数形结合感直观——以2022年新高考Ⅰ卷第22题为例

广东省华南师范大学附属中学 (510630)

罗 丽

2022年新高考Ⅰ卷试题更加开放灵活，优化了情境设计，适当增加了应用性和创新性的试题，体现出对学生数学核心素养的全方位考察.高考命题加强对数学思想方法的考察，22题考察函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的数学思想.该题构思新颖，结构精巧，本文从多层次、多角度给出解答与推广.

(2022年新高考卷Ⅰ第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

分析：本题考查了导数的应用，函数与方程.第一问用导数求函数的单调性，函数的最小值，然后列出方程求得a的值.第二问求函数的零点，可作出曲线函数y=f(x)，y=g(x)和直线y=b的大致图象，结合图象分析，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可.本题第二问独具匠心，结合方程的根与等差数列的知识，考察学生数形结合、转化与化归的数学思想以及推理论证能力和运算能力，巧妙运用函数同构法可以快速得出结论.

(法一)分离出lna解方程(*)式.

(法二)简单变形解方程(*)式.

(2)(法一)代数“同构”法.

图1

下面需证明2x2=x1+x3.

注意到f(lnx)=g(x),x>0，因此有f(lnx2)=g(x2)=f(x1)，且lnx2,x1小于零，由函数f(x)(x<0)的单调性得x1=lnx2.又f(x)=g(ex),因此有f(x2)=g(ex2)=g(x3)，且ex2,x3都大于1，由函数g(x)(x>1)的单调性得x3=ex2.根据x2满足(△)式，则有2x2=ex2+lnx2=x3+x1，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

(法二)几何法“对偶”性质.

图2

(法三)几何矩形的性质.

交点情况和图象与解法二一样，下面需证明.根据对称性，直线AC垂直于y=x，直线BD垂直于y=x，又直线AB和直线CD与直线y=x平行，则四边形ABCD为矩形.根据矩形的对角线互相平分，则有x2+x3=2x2=x1+x4.

特别地，因为x2=x3，则直线BC垂直x轴，三角形ABC为等腰直角三角形，那么四边形ABCD为正方形.对角线BC与AD交于点E，根据对称性，点E在y=x上.

点评：本题第二问用了三种方法求解，法一利用了函数“同构”特点，“同构”即结构相同，根据f(lnx)=g(x),x>0和f(x)=g(ex)，可以得到x1、x2和x3的数量关系，证明出等差数列的关系.法二利用“对偶”性质，充分考虑图象的对称性，利用数形结合的方法证明.法三在法二的基础上利用矩形的对角线互相平分的性质进行说明，巧妙地将方程的解转化为几何图象的关系.根据法三的方法，易将问题拓展到有四个交点的情形，并进行类似的证明.

吴康教授对此题拓展到有四个交点的情形，我们也用三种方法进行证明.

探究1 证明存在直线y=c，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，并且从左到右的四个交点的横坐标设为n1,n2,n3,n4,则n1+n4=n2+n3或n2-n1=n4-n3.

解法一：代数“同构”法.

图3

可以做出直线与两条曲线的图象如图3.

若有四个交点,则直线y=c的取值有两种情况，一是直线y=c在直线y=b的上方，此时c>b(b=ex2-x2=x2-lnx2)，从左到右交点分别假设为点M，N，R，S，其中点M和R在曲线f(x)上；
二是直线y=c在直线y=b的下方且大于两条曲线的最小值，此时1

不妨首先讨论当c>b时，根据交点的情况有f(n1)=f(n3)=c，g(n2)=g(n4)=c，n1<00和f(x)=g(ex)，则f(lnn2)=g(n2)=f(n1)，f(n3)=g(en3)=g(n4)，由函数f(x)(x<0)和g(x)(x>1)的单调性得，n1=lnn2，n4=3n3.故n2-n1=n2-lnn2=c=en3-n3=n4-n3,即n1+n4=n2+n3.

当1

解法二：几何“对偶”性质.

只讨论当c>b时的情形，若1

解法三：几何矩形的性质.

利用原题解法三的思路，知四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分，则有n2+n3=n1+n4.

点评：将问题拓展到有四个交点的情形，启发学生类比联想，化归转化，数形结合的数学素养，能主动地提出问题并解决问题.利用几何法中矩形的性质可以挖掘函数问题的本质，启发学生多角度思考与深度思维.

探究2 当直线与两条曲线分别有三个交点和四个交点时，试比较n2+n3与2x2的大小.(四个交点时，中间两个点的横坐标为n2,n3；
三个交点时，中间点的横坐标为x2，x2≈0.527，b≈1.167)

结论当c>b时，n2+n3>2x2；
当1

当1g(2x2-n2).因为g(n3)=c=f(n2)，需证明f(n2)>g(2x2-n2).令m(x)=f(x)-g(2x2-x)，需证明m(x)=ex-2x2+ln(2x2-x)>0在(0,x2)上恒成立.因为m(x2)=0，且m′(x)<0,x∈(0,x2)，则m(x)>0，0

点评：类似极值点偏移的做法，构造偏差函数h(x)=f(2x2-x)-g(x)，转化为分析函数恒成立的问题.对于两个函数比较交点的大小，本质上考察函数的对称性和增速，可以通过构造偏差函数，将二元问题转化为一元问题处理.判断大小关系可以由极端情况进行推理，当c→∞时，n2→0,n3→∞,显然有n2+n3>2x2.当c→1时，n2→0,n3→1，则有n2+n3<2x2.

例1 (多选题)已知函数f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零点分别为x1，x2，则下列结论正确的是( ).

A.x1+x2=2 B.x1lnx2+x2lnx1<0

分析：解决双变量问题的常规思路是转化为单变量问题，本题利用对偶特点和数形结合的方法，也可以巧妙得到答案为ABD.

图4

A选项正确.由f(x)=ex+x-2=0得ex=2-x，由g(x)=lnx+x-2=0得lnx=2-x，作出函数y=ex，y=lnx，y=2-x的图象如图4：

由y=ex的反函数y=lnx关于直线y=x对称，y=ex与直线y=2-x的交点为(x1，2-x1)，y=lnx与直线y=2-x的交点为(x2，2-x2)，可得x1=2-x2，即x1+x2=2.

在高中教学中，一题多解并非“炫技”，希望通过不同角度的解答方法启发学生的数学思维.一题多变探究式教学，激发学生提出问题并主动研究，能够透过现象看本质，厘清同类问题的解题思路，站在命题人的角度看问题.对于函数与导数的模块，学生待突破的难点是如何处理复杂的计算问题并将相关条件转化，教师在教学中应渗透数形结合、等价转化、从特殊到一般等数学思想方法，从而提升学生的数学推理、数学运算等核心素养.数学探究类题型越来越受到命题者的重视，这也将加快数学教学模式的转变，使探索发现成为日常教学的新常态.

猜你喜欢 横坐标同构交点 ——以指数、对数函数同构问题为例">牵手函数同构 拨开解题迷雾
——以指数、对数函数同构问题为例中学教学参考(2022年23期)2022-11-27不可轻用的位似形坐标规律初中生学习指导·中考版(2022年3期)2022-03-25以一次函数图象为载体的规律探究题初中生学习指导·提升版(2021年7期)2021-08-24例谈函数中的同构思想科教导刊·电子版(2021年17期)2021-08-06指对同构法巧妙处理导数题中学生数理化(高中版.高二数学)(2021年2期)2021-03-19同构式——解决ex、ln x混合型试题最高效的工具中学生数理化(高中版.高二数学)(2021年2期)2021-03-19例谈二次函数的顶点横坐标x＝-b/2a的简单应用新课程·上旬(2020年36期)2020-12-29“平面直角坐标系”解题秘籍中学生数理化·七年级数学人教版(2020年4期)2020-08-10阅读理解学生导报·东方少年(2019年7期)2019-06-11借助函数图像讨论含参数方程解的情况数学学习与研究(2017年11期)2017-06-20

推荐访问:同构 高考 对偶