一类广义Kirchhoff方程基态变号解的存在性①

黄婷，晏颖，商彦英

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

本文研究Kirchhoff方程

(1)

其中V∈C(R3， R)，g∈C(R， R)，a和b是正常数.

我们把条件(G)减弱为以下条件：

(g1) 存在μ>2 ， 使得tg(t)-μG(t)≥-υt2对于所有t≠0成立， 其中υ>0充分小.

在本文中， 假设V∈C(R3， R)和g∈C(R，R)分别满足如下条件：

显然， 条件(g1)比(G)弱. 本文利用文献[13]的思想， 在上述条件(V1)-(V2)和(g1)-(g3)下， 仍然得到了方程(1)的基态变号解.

记Hilbert空间

其内积定义为

其范数为

方程(1)对应的能量泛函为

方程的解与泛函的临界点一一对应. 本文用C，Ci表示各种正常数. 记S为最佳Sobolev常数：

(2)

本文的主要结果如下：

定理1假设条件(V1)-(V2)和(g1)-(g3)成立， 则方程(1)至少有一个径向对称的基态变号解.

(3)

其中

与之有关的能量泛函为

(4)

引理1设u是Jλ，β在E中的临界点， (λ，β)∈(0， 1]×(0， 1]， 则

作为Lax-Milgram定理的应用， 对于每一个u∈E， 方程

(5)

都有唯一的弱解v∈E. 为了构造Jλ，β的下降流， 引入一个辅助算子

其中v=Tλ，β(u)是方程(5)唯一的弱解. 由文献[13]可知， 算子Tλ，β具有以下性质：

(i)Tλ，β是连续且紧的；

(ii) ∀u∈E，J′λ，β(u-Tλ，β(u))≥‖u-Tλ，β(u)‖2；

(iii) ∀u∈E， ‖J′λ，β(u)‖2≤‖u-Tλ，β(u)‖(1+C1‖u‖2+C2‖u‖2α)；

(iv) (λ，β) ∈(0， 1]×(0， 1]，c0 ， 若Jλ，β(u)∈[c，d]， ‖J′λ，β(u)‖≥τ， 则存在δ>0， 使得‖u-Tλ，β(u)‖≥δ.

为了得到变号解， 令

P+={u∈E：u≥0}P-={u∈E：u≤0}

对于任意的ε>0， 设

容易验证W是E中开的对称子集， 并且EW只包含变号解. 记

K={u∈E：J′λ，β(u)=0}E0=EK

与文献[14]中引理2.4的证明类似， 可以得到当ε∈(0，ε0)时， 方程(3)的所有变号解都包含在EW中.

引理2[15](形变引理) 设S⊂E，c∈R，ε，δ>0， 满足

其中

S2δ={u∈S：
dist(u，S)<2δ}

则对于0<ε<ε1<ε0， 存在映射η∈C([0， 1]×E，E)， 使得：

(iii) ∀u∈E，Jλ，β(η(·，u))是非增的；

(v) ∀t∈[0， 1]， 若Jλ，β(·)是偶泛函， 则映射η(t， ·)是奇的.

定义1[16]如果下列形变性质成立：
若KcW=∅， 其中W=P∪Q， 则存在ε0>0， 使得η∈C(E，E)满足：

(b)η|Ic-2ε=id；

(c)η(Ic+εW)⊂Ic-ε.

则{P，Q}是c水平集上关于I的可容许不变集族.

(i)Ψ0(∂1△)⊂P，Ψ0(∂2△)⊂Q；

(ii)Ψ0(∂0△)∩M=∅， 其中M=P∩Q；

其中

△={(t1，t2)∈R2：t1，t2≥0，t1+t2≤1}

∂1△={0}×[0， 1] ∂2△=[0， 1]×{0}

∂0△={(t1，t2)∈R2：t1，t2≥0，t1+t2=1}

Γ={Ψ∈C(△，E)：Ψ(∂1△)⊂P，Ψ(∂2△)⊂Q，Ψ|∂0△=Ψ0|∂0△}

则c≥c*，KcW≠∅.

定理1的证明

φ0(t，s)=R2[tv1(R·)+sv2(R·)]

显然

=min{‖tv1+(1-t)v2‖2：
0≤t≤1}>0

(6)

由条件(g3)可知， 对于任意的t∈R， 存在正常数C3，C4， 使得G(t)≥-C3|t|p-C4. 结合(1)式、(4)式和(6)式可以得到

步骤2 取λ和β趋于0. 根据cλ，β的定义， 对于任意的(λ，β)∈(0， 1]×(0， 1]， 有

(7)

不失一般性， 假设λ=β. 取序列{λn}⊂(0， 1]满足λn趋于0+， 则存在Jλn，βn的临界点序列{uλn}(仍记为{un})使得Jλn，βn(un)=cλn，βn. 下面要证{un}在E中有界. 由Jλ，β的定义可以得到

此外， 由引理1可得

(10)

又由条件(g1)可知

利用Sobolev连续嵌入，

因此， 当υ>0充分小时，

则存在正常数C5， 使得

(11)

此外， 结合(2)式、(7)式和(8)式以及假设条件(V1)，(g2)，(g3)， 可以得到：
对任意的ε>0， 存在Cε>0， 使得

(12)

(13)

结合(11)式、(12)式和(13)式， 可知{un}在E中有界. 又因为

并且， 对于任意的

所以， {un}是J在c*水平集上的有界PS序列. 因此， 存在u*∈E， 使得{un}在E中弱收敛到u*， {un}在Lq(R3)中强收敛到u*，q∈(2， 6).

因为{un}在E中有界， 所以

由条件(g2)，(g3)可得：
对任意的ε>0， 存在Cε>0， 使得|g(t)|≤ε|t|+Cε|t|p-1.结合Hölder不等式， 有

因此

步骤3 定义

根据Sobolev不等式， 有

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