基于深度学习U-net网络的重力数据界面反演方法

李阳， 韩立国， 周帅， 林涛

吉林大学地球探测科学与技术学院， 长春 130026

基于重力数据的密度界面反演可以确定地层与基底、地壳内部、莫霍面和岩石圈与软流圈等密度分界面的埋深和起伏，在资源勘探、区域构造演化、岩石圈动力学等领域的研究中具有重要作用(秦静欣等，2011；
Zhao et al., 2020；
朱莹洁等，2022).

目前，根据重力异常反演密度界面深度的方法可按照计算域划分为两个类别，即空间域和波数域反演方法(冯娟等，2014).空间域密度界面反演方法由于简便直观、易于理解的优势得到了广泛研究和应用，并衍生出了直接迭代法、压缩质面法、等效源法等多种反演方法(Prutkin and Casten, 2009；
刘元龙等，1987；
秦静欣等，2011).Parker(1973)将快速傅里叶变换应用到位场数据界面正演中，将计算密度界面重力异常的过程从空间域转为波数域.随后，Oldenburg(1974)基于Parker(1973)波数域界面正演计算公式，提出了波数域求解密度界面的迭代反演公式，有效地提高了界面反演的计算速度.为了解决传统Parker-Oldenburg界面正反演方法在波数域进行低通滤波计算损失高频有效信息、滤波参数选择困难、地层密度不均一等问题，而后发展了大量的基于Parker-Oldenburg界面正反演的改进算法，进一步提高了该方法在盆地基地界面起伏计算、莫霍面深度确定等问题中应用程度(Granser，1986；
Reamer and Ferguson，1989；
关小平，1991；
García-Abdeslem，2000；
Gómez-Ortiz and Agarwal, 2005; 柯小平等，2006；
Pilkington，2006；
Pham et al.,2018).

基于空间域和波数域的传统密度界面反演方法在界面深度起伏反演时依赖于先验信息，自动化水平低.深度学习是机器学习的分支，通过构建深层非线性网络结构和训练样本集，自主学习隐含在输入数据和输出数据间的复杂特征信息和非线性函数关系.随着GPU的发展和大数据时代的到来，深度学习在图像识别领域、医疗检测、语音识别等多个领域引起了研究热潮，其中代表性的深度学习网络有卷积神经网络(Convolutional Neural Network，CNN)、深度置信网络(Deep Belief Network，DBN)、循环神经网络(Recurrent Neural Networks，RNN)等(Kononenko，2001；
Zhang et al.，2017).王昊等(2020)、Yu 和Ma(2021)总结了近年来深度学习技术在地球物理领域中的研究进展，显示出深度学习在勘探地球物理中数据处理和反演、固体地球物理中地震监测等方向已经得到了广泛地应用.而在深度学习进行重磁数据场源几何参数反演方面，张志厚等(2022)建立起重磁观测数据与场源边界位置和深度参数间的深度学习网络模型，实现了地质体几何参数的反演.在重磁数据场源物性参数反演方面，Yang等(2021)采用CNN网络完成了重力数据的三维物性反演，验证了深度学习方法在物性反演中的有效性.张志厚等(2021a,b)提出了一种端到端的深度学习网络结构，进而实现了重磁与重磁梯度数据的联合反演.Nurindrawati和Sun(2020)基于CNN网络建立了磁异常数据磁化方向参数的反演方法，在剩磁存在条件下有效地提取出场源的磁化倾角和磁化偏角参数.Hu等(2021)将深度神经网络DNN应用到磁总场异常的物性反演中，在磁铁矿的实际数据应用中得到了与钻孔数据相吻合的物性反演结果，验证了方法的有效性和实用性.在重磁数据界面反演方面，Maiti等(2020)采用贝叶斯神经网络实现了重力数据的界面起伏深度反演，并与传统的人工神经网络界面反演方法对比显示该方法可获得更加可靠的反演结果，但反演过程中需要对多个先验参数进行调整，增加了反演求解过程中的复杂度.He等(2021)基于卷积神经网络CNN实现了沉积盆地界面位置的重力数据反演，为了减少深度学习方法对样本集依赖性强等问题，建立了基于随机中点位移法(RMD)的样本集建立方法，提高了网络模型的训练效率，通过理论模型和实际数据应用验证了方法的有效性.

Long等(2015)提出了基于语义分割的全卷积神经网络FCN，Ronneberger等(2015)对FCN 进行改进，提出了U-net神经网络结构，并在图像分割等领域得到了广泛应用.U-net网络模型通过下采样过程提取细节特征，然后通过上采样过程恢复维度，将浅层背景信息与深层局部数据进行拼接，使得位置等浅层信息能够较好保留至数据输出之前，这种设计使得网络对数据的位置信息较为灵敏.而重力数据密度界面反演的输入数据和输出数据之间有着明显的位置特征，所以U-net神经网络相比其他深度学习网络更加适用于重力界面反演.针对起伏较小、光滑的莫霍面等深部密度界面，本文基于U-net网络建立了重力数据密度界面反演方法，在样本集建立、数据预处理、网络结构设计、损失函数优化、训练过程条件控制方面进行算法设计，建立了一套适用于重力数据密度界面反演的深度学习网络，并与经典的Parker-Oldenburg正反演方法进行理论模型和实际数据处理的效果对比，分析本文建立方法的有效性.

1.1 样本集数据生成器

由于难以获得准确且充足的真实地下界面数据，本文设计一种样本集数据生成器来模拟地下界面起伏及其引起的重力异常数据，进而实现深度学习网络模型的训练.生成器在模拟真实的地下界面模型时，应尽可能按照地下的真实情况进行参数设计.对于重力数据界面反演而言，深部界面具有起伏较小、光滑等特点，为了进行这种类型界面的模拟，生成器主要由以下部分构成：

(a)生成半椭球面起伏界面

首先设置一系列如图1所示的不同形状、不同高度、不同位置的半椭球面，椭球面在坐标系内的高度可由公式(1)计算：

图1 半椭球体模型

(1)

其中，Δh是椭球面与界面起伏平均面的高度差，Δhmax是椭球面距离平均面的最大高度，可以为正值和负值.x、y是位置坐标，xc、yc是椭球面的中心位置，xr、yr是椭球面与其中心位置的距离.

通过改变Δhmax、xc、yc、xr、yr的值，可以建立一系列椭球面作为生成地下界面模型的原始数据.

(b)模拟地下起伏界面

随机抽取N组椭球体界面模型并将其累加计算，当N足够大时，即可得到与地下界面结构相似的近似平滑地下界面起伏模型，具体表达式为：

(2)

其中，h是模拟界面深度，h0是平均深度.为了提高数据的有效性和避免过拟合，每个模拟界面h的计算中均采用随机生成的h0值.

为保证模拟地下起伏界面的光滑性，本文采用均值滤波对叠加后的界面数据进行处理，最终得到的界面数据如图2a所示.在本文模拟数据和实测数据的界面反演中，本文设计界面位置在320 km×320 km的测区范围内，假定训练集和测试集中每一个界面起伏最大落差在5 km左右，起伏界面的深度最小可为20 km、最大可为40 km，界面密度差为0.4 g·cm-3.

图2 模拟密度界面起伏数据及其重力异常

(c)正演模拟异常数据

本文采用Parker界面正演方法进行模拟界面起伏数据的正演计算，考虑到测区外的界面起伏对数据的影响，在正演计算之前，首先将模拟界面数据进行扩边处理，然后通过Parker界面正演方法计算得到扩边后的重力异常，再对异常数据裁剪至原始维度便可得到一组地下界面起伏数据和重力异常数据.在深度学习网络的训练中，将正演异常作为输入数据，而模拟的界面起伏作为输出数据，进而建立从正演异常到界面深度的映射关系.

Parker界面正演方法得到的是界面相对平均深度的起伏变化，而深度学习网络要求输入数据格式尽可能统一，因此在正演过程中统一计算模拟界面对30 km深度的相对异常，图2b是通过此方法计算得到的图2a界面引起的重力异常.

1.2 数据预处理

深度学习神经网络可被视作一个数据拟合器，其目的是建立输入数据和输出数据之间的映射关系.大型的神经网络虽然具有很强的拟合能力，但由于算力有限且需要考虑训练效率的问题，一般不会使用过大规模的神经网络.此外，网络模型训练算法将非凸问题视作凸问题进行优化，网络往往无法达到极限的迭代能力.通过有效的数据预处理可突出输入与输出数据之间的主要关系，以减小训练难度，提高网络的有效性，在处理由生成器产生的数据时，本文采用以下两个方法：

(a)界面数据的负值处理

一般而言，在传统的Parker-Oldenburg界面正反演计算时，通常将z轴的正方向定义为垂直地表向下.但在深度学习网络模型训练中，z轴的方向定义会造成输入与输出数据之间多了一个负值的映射关系，从而增加了网络训练的难度.本文将界面数据全部取负值以消除这个映射，简化输入与输出数据间的关系.

(b)归一化处理

将输入和输出数据同样映射至(-1，1)区间，则建立映射的神经网络所需的权重也大致在(-1，1)区间，以减少网络收敛的难度和所需的参数更新次数.归一化的过程可由公式(3)描述：

(3)

其中，dn是归一化后的数据，d是生成器生成的原始数据，dmin和dmax分别是区间的最小值和最大值，为保证生成器每次生成的数据格式统一，该参数由人为进行设置.

1.3 U-net神经网络

本文采用的U-net神经网络的基本模型如图3所示，U-net网络模型通过下采样过程提取细节特征，通过上采样过程恢复维度，将浅层背景信息与深层局部数据进行拼接，使得位置等浅层信息能够较好保留至数据输出之前，这种设计使得网络对数据的位置信息较为灵敏(Ronneberger et al., 2015).同时，由于U-net作为一种全卷积神经网络，舍弃了复杂的全连接层，直接通过1×1的卷积层输出，使得网络参数更加简单且易于训练.在重力数据密度界面反演中的输入数据和输出数据之间有着明显的位置特征，采用U-net神经网络可更加有效地完成界面起伏深度的反演.

图3 U-net神经网络结构

在U-net网络具体设计时，每一次上采样和下采样过程都进行了批量标准化，从而增加反向传播算法的效率(Ioffe and Szegedy, 2015).中间层使用ReLU函数作为激活函数(Glorot et al., 2011)，最后一层使用Tanh作为激活函数，以将输出结果映射至数据所在的(-1，1)空间，减小训练的难度.

1.4 训练系统

本文采用一个循环过程来训练建立的U-net网络.首先，生成两组用于训练的数据，一组作为训练数据输入网络训练，训练后的网络通过测试数据进行精度评价.若精度未达到要求，则生成一组新的测试数据，将上一组测试数据作为训练数据输入网络训练.重复这个过程，直到网络精度达到要求，具体训练流程图如图4所示.

图4 训练流程图

为了避免神经网络训练过拟合的问题，采用截止训练的方法控制训练过程，即若网络已经完成了十次训练、训练数据的误差连续两次减小、测试数据的误差连续两次增加，则说明网络发生了过拟合，此时跳过训练过程，直接进入下一组循环.

1.5 损失函数和优化算法

本文采用具有较强鲁棒性的Adam作为优化算法(Kingma and Ba, 2015)，选择最小平方误差Φmse为基本的损失函数.此外，由于假定地下密度界面是光滑的，在基本的损失函数基础上增加光滑损失项Φsmooth以惩罚不平整的结果.同时为了改善训练中的过拟合问题，加入L2范数对网络参数进行约束.本文提出的损失函数最终表达式为：

Φ(θ,hpre)=Φmse(hpre)+αΦsmooth(hpre)+βΦL2(θ)，

(4)

其中：

(5)

其中，θ是神经网络的权重和偏置等参数，hpre是神经网络反演得到的界面深度数据，h是期望输出的界面数据，由生成器生成并经过预处理后得到.

2.1 网络模型训练与参数设置

本文采用的数据维度为64×64，点距为5 km，界面密度差为0.4 g·cm-3.模拟界面模型由150个随机椭球面模型生成，每一轮循环生成512组模拟界面.假设输入数据的归一化范围为-150～150，输出数据为-140～-20.正演计算时，将界面数据扩边至128×128的维度，α值为1×10-3，β值为1×10-5，优化函数的学习率设为.每轮中的数据最多训练64轮，每一批训练128组数据，截止误差为0.0004，即平均误差小于0.4 km时训练完成.

本文采用pytorch平台进行网络模型搭建，在一台NVIDIA TESLA T4显卡上进行网络模型训练测试，训练过程共耗时6 h，训练过程中误差的变化曲线如图5所示.由图5可以看出，每进行一个训练循环，训练集误差都会跳至较高位置然后降低，这代表着新一组数据带给了网络未曾学习的新信息.验证集误差也总体保持向下的趋势，说明网络出现没有明显的过拟合现象.训练过程中发现，第四组数据出现了一定程度的过拟合并触发了跳出机制，使得该组数据训练次数明显少于其他组.图5b为以组为单位的验证集误差的箱状图，可以看出每一组训练都能使测试集误差的均值和分布范围降低.经过7组训练之后，验证集误差达到试验要求.

图5 训练误差图

2.2 理论模型验证

为了说明基于深度学习的界面反演方法的有效性，本文建立如图6a所示的界面起伏模型进行界面反演效果分析，同时采用传统的Parker-Oldenburg界面反演方法进行模型反演计算，说明本文建立方法的反演计算效果.首先对建立的界面模型经过正演计算后得到异常数据，并将数据处理为U-net网络的输入格式，进而输入训练完成的U-net网络模型进行界面起伏反演，最后将反演结果的数据格式转换为真实界面深度值，即可得到图6b所示的界面深度图.采用Parker-Oldenburg界面反演方法计算界面起伏深度时(Gómez-Ortiz and Agarwal, 2005)，需要给定界面起伏的平均深度、滤波参数等，本文给定界面平均起伏深度为30 km，滤波器系数WH=0.001，SH=0.025，截止误差为0.001，算法共迭代4次，最终得到如图6c所示的反演结果.由图6可以看出，Parker-Oldenburg方法对界面细节起伏特征的刻画能力较低，这与该方法计算时滤波参数的选择等有关.而基于U-net网络的界面反演方法反演计算出的界面起伏结构与理论模型具有更好的吻合度.图7是两种密度界面反演方法结果的误差对比图，结果显示，基于U-net网络的界面反演方法的整体误差水平与Parker-Oldenburg反演方法相当.

图6 反演结果对比图

图7 误差对比图

为了进一步说明本文改进后的损失函数在界面反演中的优势，建立如图8a所示的密度界面起伏模型，针对该密度界面起伏模型采用Parker正演方法得到对应的重力异常，进而输入训练完成的U-net网络模型进行界面起伏反演，即可得到密度界面起伏深度.如图8b为本文提出的损失函数约束情况下获得的光滑约束密度界面起伏结果，而图8c为传统损失函数约束情况下的反演密度界面起伏结果，可以看出本文提出的损失函数具有更高的界面深度反演精度.为了更加清晰的显示不同方法的界面反演效果，选择过y=200 km的剖面数据进行方法对比，结果如图9所示，本文改进的光滑约束损失函数能够获得更加圆滑的界面起伏结果，与真实模型具有更好地对应关系，可以获得更加符合实际地质情况的反演结果.而传统无光滑约束的损失函数在网络模型训练时易产生过拟合问题，在测试数据的应用中反演出的界面深度误差较大.此外，与传统Parker-Oldenburg方法对比，基于深度学习的界面反演方法可有效地完成密度界面反演计算.

图8 不同损失函数约束下的反演结果对比图

图9 不同损失函数约束下的反演结果剖面图(y=200 km)

为了分析本文方法的抗噪能力，由图8a所示的界面起伏模型正演出的重力异常(图10a)的基础上加入10%高斯噪声，得到如图10b所示的重力异常，并将含噪后的数据直接作为测试集应用到训练好的网络模型中，反演出的密度界面起伏深度如图10d所示，结果显示基于深度学习的界面反演方法具有很好的抗噪性，反演结果与真实模型具有很好的吻合.

图10 含噪情况下的反演结果

为了更好的进行本文建立方法的实际应用效果对比分析，本文针对Gómez-Ortiz和Agarwal(2005)中的重力异常数据进行莫霍面起伏深度反演，Lefort和Agarwal(2000)通过对法国布列塔尼地区的布格重力数据逐步低通滤波和增加截止波长处理，获得了反映深部莫霍面界面起伏引起的重力异常，如图11a所示，Gómez-Ortiz和Agarwal(2005)基于Parker-Oldenburg方法实现了莫霍面界面起伏深度的反演，如图11c所示.

图11 法国布列塔尼地区莫霍面反演

法国布列塔尼地区重力异常数据的维度为51×51，点距为6 km.Gómez-Ortiz和Agarwal(2005)将数据扩边至112×112之后再进行Parker-Oldenburg反演，给定平均深度h0=30 km，WH=0.01，SH=0.012，最终得到的界面深度如图11c所示.在实际数据的深度学习界面反演中，采用理论模型试验部分建立的U-net网络模型进行实际数据的处理，即把预处理后的实际数据直接输入到训练好的网络模型.本文采用Gómez-Ortiz和Agarwal(2005)扩边后的数据截取中间64×64部分，并将其按照U-net网络输入数据的要求进行预处理.经过U-net网络反演得到输出数据后，进而将输出数据转化为真实的界面深度参数，最后截取原始数据51×51的部分，得到如图11b所示的界面深度结果.

由图11反演结果可以看出，基于U-net网络的界面反演方法能够有效地完成实际数据的莫霍面起伏深度的反演，且与Gómez-Ortiz和Agarwal(2005)的Parker-Oldenburg反演结果相比，本文建立方法可以得到更加精细的界面起伏信息.将两种方法得到的界面深度使用Parker正演并计算其与原始数据的误差，得到的结果如图12所示.基于U-net网络的界面反演方法的平均计算误差为0.0821，Parker-Oldenburg反演方法的平均误差为0.0029.U-net网络界面反演的总体误差大于Parker-Oldenburg反演，但其误差主要分布在测区边缘，主要原因是由于网络输入维度的限制造成的，由于在训练集建立时采用的网络输入维度为64×64，所以在实际数据(测试集)处理时也同样要求输入数据的维度最大只能是64×64，U-net网络在测区边缘的准确率要比采用扩边后112×112数据的Parker-Oldenburg反演方法低，所以，Parker-Oldenburg反演的误差分布较为平均，但在中间部分的精度明显低于U-net网络界面反演方法.如果想要抑制边缘误差大的问题，可在网络模型训练时采用更大维度的训练集，可有效地减低边缘位置的反演误差，但网络输入维度的增加会大大提高网络训练的时间.

图12 反演结果产生的异常与原始异常之差

本文提出了一种基于深度学习U-net网络的重力数据密度界面反演方法，通过随机抽取和组合的半椭球体模型来模拟地下界面起伏，进而基于Parker正演理论获得了特征全面且充足的深度学习训练样本集，在传统的损失函数基础上增加光滑损失项以惩罚不平整的结果，同时为了改善训练中的过拟合问题，加入L2范数对网络参数进行约束，并采用截止训练的方法控制训练过程，提高了网络模型训练的收敛效率和稳定性.理论模型和实际数据数据的试验结果显示，本文建立的基于U-net网络的密度界面反演方法对于深部、平缓的密度界面起伏具有更好的反演能力，对于具有陡峭界面起伏变化的密度界面反演问题，还需要在网络结构设计、样本集建立等方面进行方法设计，进而为密度界面的计算提供一种智能化和普适化方法.

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