追寻问题本源,培养关键能力——“双减”背景下的2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题评析

⦿武汉中学 冯爱龙

⦿武汉市第十四中学 张 禺

2022年全国高考数学新高考Ⅰ卷，作为“双减”政策落地后的首届高考试卷，让很多一线教师和考生都感觉不适应.从试卷难度测评发现，低档(A)、中档(B)、高档(C)题目配比由往年的6∶3∶1，调整为3∶6∶1，中档题大幅度增加，使得试卷难度结构由过去的“金字塔”型陡变为“纺锤形”，有人认为这是新高考背景下最能有效区分“尖子生”和“疑似尖子生”的难度结构.试卷间接新增对心理素质的考查，数列题作为第一道大题，就让考生心理有点失衡，直观感受是第一题就不容易，间接感受就是整套试题风格与以往迥然不同.

试卷命制加强了教考衔接，注重素养立意，优化试题设计，考查关键能力，紧扣核心素养，凸出价值导向，注重文化传承，培养创新思维，具有鲜明的导向性、实用性和选拔性，有助于引导高中教学依标施教，助力基础教育提质增效，真正落实了“为党育人、为国育才”的国家未来教育发展战略.

2.1 关注核心素养，考查关键能力

例如，第7题难度较大，选拔功能非常好.学生发现平时常用的比较大小的方法不大管用，不是常规方法就能解决的.需要学生冷静下来，观察数据，探索事物本质、关联和规律，从而寻找解题突破口.对学生数据处理、推理论证等素养和能力的要求很高！

A.aC.c

分析：此题难度等级为C.先构造函数f(x)=ln(1+x)-x，再用导数判断其单调性，两两比较确定a,b,c的大小.

当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减.

令h(x)=ex(x2-1)+1，h′(x)=ex(x2+2x-1).

所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln 0.9，从而a>c.

综上，c

点睛：本题考查了数式的大小比较，通过构造函数并利用函数性质来比较.解题关键有三点.一是会审题，比较后发现共性；
二是巧构造，构造关联函数，用导数法或初等函数的单调性判断；
三是会放缩，找准比较依据，两两比较.新高考卷频繁出现比较函数值大小、抽象函数等知识与方法，其实就是考查学生构造函数的能力以及数学建模思想.

2.2 凸显主干知识，考查知识本源

例如，第12题以抽象函数为背景，考查函数的奇偶性、对称性、导数的概念及它们之间的内在联系.本题要求考生具备较强的数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养.又如，第14题的答案不唯一，是一道开放型填空题.如果考生规范地去求解两圆公切线，计算量大且易错；
如果考生有较好的直观想象素养，通过精确作图，不难“看出”答案！所以第14题蕴含了丰富的数学思维，给不同水平的考生提供了不同梯度的思考空间，思维深刻而不失灵活，具有很好的选拔功能，也考查考生的学习习惯与临场发挥时的心理素质.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

分析：此题难度等级为B.作为多选题的压轴，根据函数的性质逐项判断即可得解.

所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故选项C正确.

不妨设f(x)=1,x∈R，经验证满足题意，但f(0)=1，故选项A错误.

综上，正确答案选：BC.

点睛：本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性，也涉及到数学三种语言的转化，是函数奇偶性、抽象函数、导数三者的“横向集结”，也是培养学生抽象思维和类比思维的落脚点.解题关键是转化题设条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系及函数的性质(必要时结合图象)即可得解.

题3(新高考Ⅰ卷，14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.

图1

点睛：本题考查了直线与圆、圆与圆相切的相关知识.解题关键有三点.一是定位置，利用圆心距与两圆半径和、差的关系，判断两圆位置关系；
二是活用几何性质，如圆的垂径定理，在由点到直线的垂线段、半弦与圆半径组成的特征直角三角形中，由点到直线的距离公式等求切线方程、弦长；
三是数形结合，利用图形的直观性快速找到解题思路，秒求切线方程x=-1.

2.3 常规题目显新意，机械刷题难取胜

例如第18题第(2)问，将解三角形中求边的范围问题与基本不等式有机结合，灵活且有新意.再如第19题，一道常规的立体几何题，围绕体积、面积，考查线线关系、线面关系、点面关系等主要知识点.要求考生从整体出发，综合运用所学基础知识解决问题，有利于引导学生减少机械刷题.

分析：此题难度等级为B.利用倍角公式、诱导公式进行恒等变形，根据正弦定理化边为角，变成三角函数式，利用基本不等式求最值.

点睛：本题考查了倍角公式、诱导公式、正弦定理及基本不等式等知识.解题关键有三点.一是要正确分析已知三角等式中的边角关系，合理选择“边化角”还是“角化边”；
二是熟记三角公式与三角变换策略，将目标式子转化为含有三角的函数式；
三是正确使用基本不等式求最值，但需注意正余弦函数的有界性.

图2

(1)求点A到平面A1BC的距离；

(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：此题难度等级为B.第(1)问由等体积法运算即可得解；
第(2)问由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABB1A1.建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

点睛：本题考查了三棱柱的体积公式、点到平面距离的求法和空间法向量的应用.解题关键有两点.一是要注意两个平面法向量的夹角与对应二面角的平面角间的关系，善于利用几何体中线线垂直关系建立空间直角坐标系；
二是在求二面角的正弦值时，要防止求平面法向量出错、选用公式出错和空间中的点线面位置关系弄错.

2.4 渗透思政德育，关注数学应用

例如第4题，以南水北调工程为素材，考查学生空间想象能力、运算求解能力，渗透了数学抽象、数学建模等核心素养，也引导学生关心国家重大建设成就，增强社会责任感.第20题以疾病与卫生习惯的关系为背景，“以生考熟”，考查独立性检验和条件概率.第20题第(2)问的第(i)问“颇具新意”，考生“望而却步”，实际上很简单，仅仅只是条件概率公式的应用，但是对学生的阅读理解能力、临场应变能力和基础知识的熟练度提出了较高要求.

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

分析：此题难度等级为B.根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求解.

2023年将是新高考Ⅰ卷使用省份真正全面实施“新课标”“新课程”“新教材”“新高考”(俗称“四新”工程)的元年，“新课标”就是“新考纲”，主旨要求就是落实“四基”“四能”和六大“核心素养”；
教学要求就是要以学生为主体，开展研究型和创新型教学；
备考要求就是用高考引领高中教学而不是要高考去适应高中教学.“双减”政策在新高考中的落地就是要让教育回归学生的天性，回到学生成长的本真上.因此，复习备考时，抓住三个关键：一是研“标”回“本”明方向，二是点面结合抓落实，三是扎实推进重习惯.

3.1 重视教材，回归本质

历年高考题中都会有一些题目来源于对课本题目的改造、延伸与拓展.加强对课本题目的研究，弄清命题者的意图，深究本质，并且可以尝试着让学生改编课本习题，锻炼思维能力，也不失为一种好的复习方式！例如，本试卷第12题考查的是抽象函数图象对称性问题，在新人教A版必修一第87页的“拓广探索”里就有介绍.虽然新高考对重点知识的考查难度升级，曾经的冷门知识进入重点考查行列，更加注重创新能力和知识的全面考查，更加凸显六大核心素养等新趋势或者新变化，但是新科技(5G的应用、大数据技术和AI技术等)革命也会给高中数学教学带来一场新变革.因此，备考中教师要更加要求考生打好基础，学好学科本源性方法，淡化特殊技巧与结论，强调通性通法的灵活应用，用直觉思维代替“机械刷题”形成的模式与套路，用创新题考查知识与方法的快速迁移代替“快餐式”教学产生的押题与磨题.

3.2 重视学考衔接，培养运算推理能力

计算是“童子功”，逻辑推理是“命根子”.教学中多设计学生参与的环节，鼓励他们成为课堂主角，以部分优异带动整体氛围，以学生之口代替教师之口，把课堂变成学生施展才华的空间，而不是教师的“报告会”.2022年高考数学题大家都反映计算量很大，这也体现了高考对数据计算和数据分析能力的要求，几乎所有的试题都呈现“思维+推理+计算”的三维作战术.例如第7，8，11，14，15，16，18，21，22等题，对计算能力很弱的同学绝对是“噩梦”.教师要指导学生坚持积累运算技巧，优化算理，提高运算熟练度及准确度，积累运算经验，用草稿纸的厚度换取计算能力，增强解题逻辑分析能力和计算基本功！

3.3 创新问题呈现方式，尽量“以生考熟”

2022年的数学试卷还发出了一个新的信号，就是过度基于现在的题海去应试，在高考中并不是有效的.我们要倡导怎样用数学知识、思维与方法去解决一些“活”的问题.这些问题的解决是得分的基本来源.例如第20题，对条件概率的考查，难度不大，但“耳目一新”，学生会在心理上觉得“难”.再如，2021年全国乙卷理科第9题，试题以“《海岛算经》中测量海岛的高”为背景，在初中数学教材中“测量建筑物的高度”的基础上进行创新,贯通了初高中知识的衔接与融合,既结合了跨学科知识，又展现了数学之美.所以，平时训练应当尽量避免枯燥的重复练习，在问题呈现与表达方面多变点花样，多让学生感受到“新鲜”感；
注意知识运用的“纵向深入”与“横向联结”的双重训练，使学生在潜移默化中锻炼关键能力.这也是“双减”政策的应有之义.新高考要出新，首先就是各知识点出题的位置不能固化，但试卷总体结构还是要由易到难，所以带来了各知识点难度的大循环.这也不失为2022年高考试题命制的创新之处.

总之，在“双减”背景下，高考数学试题命制反猜题、反套路、反常规会越来越明显，中档题试题难度加大、题量增多，都会对考生提出更高要求，这是一种强烈的信号.新课标与新大纲领衔的“整体难度可控，各模块难度不可控”的出题风格，对六大核心素养的更深层次考查，将会导致新高考命题者放飞自我，题目会更加灵活多变，创新力度加大，今后的高考将会以选拔高质量的创新性人才作为主要目标，用高考来引导高中数学教学，回应“钱学森之问”.

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