基于二元衍射的光谱共焦显微位移测量

阮昊洋， 李加福， 白娴靓， 杜 华， 罗明哲， 胡佳成

(1. 中国计量大学计量测试工程学院，浙江 杭州 310018; 2. 中国计量科学研究院，北京 100029;3. 北京国科军友工程咨询公司，北京 100086)

光谱共焦显微测量方法是共焦测量的一个重要分支，它几乎适用于任何反射率样品的测量，尤其可以实现单点实时测量。从这个角度来看，光谱共焦显微测量优于其他高精度三维测量方法，如白光干涉测量。通常光谱共焦显微系统需要高成本、具有线性色散特性的多折射透镜组成的复杂物镜。为了实现透明薄膜或者复杂工件内部凹陷不平整等非常规工作环境的检测，朱万彬等[1]设计了不同的色散透镜组，实现了不同精度的微小位移测量。他们将光源用复色光代替，光源经过半透半反射镜和色散透镜组后聚焦在像面上并形成虚像，入射光遇到像平面上放置的物体后发生反射，反射光再次经过色散透镜组、半透半反射镜和小孔后，由光谱仪将其接收。通过光谱仪分析两次峰值波长的差值来计算微小位移值。此方法相较于传统非接触式测量方法，精度和轴向分辨率得到了提高[2]，然而在设计色散透镜组时，如果色散线性度较差，就会使测量精度降低[3]。并且优化过程中要使球差尽可能小，特别是要降低轴向球差对测量精度的影响；
还要减小单色像差和点扩展函数的半峰全宽（FWMH）等[4]。优化过程中对球差、透镜口径大小、弥散斑、像方和物方孔径角等因素的调控不是独立的[5]，要综合起来分析才能得到色散透镜结构的最优解，这使设计难度大大提高。

近年来，经典二元衍射光学元件的超聚焦和纳米成像受到了广泛的关注，其在原子光学、共焦成像、X射线纳米显微镜、全息显微镜等领域有多种应用。二元衍射元件的特殊性包括明显的线性色散特性和高NA（数值孔径）的单焦点。Park Hyo Mi等[6]设计出一种基于商用几何相位透镜的二元共焦传感器，该传感器一方面核心组件有很大的不同，色散聚焦元件是一种超构透镜，并且是偏振敏感的，其谐振单元基本在亚波长尺度上；
另一方面，利用矢量角谱理论来选择最合适的线性色散区域，可以精确地确定每个偏移焦平面上的焦斑分布以及照明波长的上下限。

为此提出一种基于二元衍射的光谱共焦显微位移测量方法。该方法引入二元衍射透镜代替一般的色散透镜组，通过理论分析建立数学模型，仿真和实验结果均表明，二元衍射透镜实现了入射光线的轴向色散，不同波长的光聚焦在光轴上的不同位置，色散现象显著。二元衍射透镜与放大倍数更高的显微镜组合进行测量，在提高了系统的轴向分辨率同时提高了系统的测量精度，且二元衍射透镜的性能良好，结构简单、易于实现。

1.1 光谱共焦位移测量原理

光谱共焦位移测量是利用光学色散原理，对光谱仪对检测到的信号进行处理，提取峰值波长，从而建立波长与位移之间的关系还原出位移。光谱共焦系统如图1所示，整个系统由白光光源、分光棱镜、光谱仪、共焦小孔、色散物镜和准直镜组成。白光光源发出的光经针孔可以近似看成点光源，经过准直和色散物镜后，因位置色差被聚焦在光轴上的不同位置，形成连续的单色光焦点，且每一个单色光焦点到被测物体的距离都不同。当被测样品处于复色光束聚焦范围之内时[7]，只有某一波长的光聚焦在被测面上，该波长的光由于满足共焦条件，可以从被测物表面反射回共焦小孔并进入光谱仪，而其他波长的光在被测物面表面处于离焦状态，反射回的光被阻挡在共焦小孔以外，所以大部分光线无法进入光谱仪。通过光谱仪解码得到出射信号光强最大处的波长值，即峰值波长。峰值波长与位移一一映射，我们可以通过标定得到波长与位移的对应关系，测量时通过计算出射信号的峰值波长得到被测表面的位移。该系统具有良好的抗干扰能力，损耗低，重量轻，可以适应多种被测表面的特性[8]。

图1 光谱共焦位移传感系统原理

1.2 二元色散镜理论分析及制备

菲涅尔波带片是一种二元衍射光学元件[9]，其每个环的半径坐标可用rn定义，相邻波带的光程差为λ/2。如图2所示，第n波带的半径rn为：

图2 二元色散镜轴向图和侧视图

式中：f——主焦距；

n——总环数；

λ——设计波长。

设计波长λ为：

式中：λ0——照明波长；

η——介质折射率。

菲涅尔波带片的有效数值孔径NAeff为：

式中：α为最大对焦半角，且满足tanα=rn/f。因此，菲涅尔波带片的直径为：

对于二元相位型菲涅尔波带片，当rn为奇数时，传输函数t(r)=1；
当rn为偶数时，传输函数t(r)=-1。在标量衍射理论下，主焦点的横向尺寸(半最大值时全宽，半高宽)可以计算为：

同时，根据标量衍射理论和瑞利准则[10]，将真空中二元相位型菲涅尔波带片的横向空间分辨率简化：

式中，Δr=rn-rn-1为最外层环空的径向宽度。横向空间分辨率仅由一个结构参数Δr决定。应该注意的是，方程(5)和(6)，只适用于低NA的菲涅尔波带片，极化的影响可以忽略。当有效数值孔径变大(如NAeff＞0.4)时，由多级衍射光束构成的二次焦点消失，只剩下一个主焦点。潜在的原因被清楚地揭示出来，由于退化因子的差异，高NA的菲涅尔波带片与相同数值孔径的精细校正物镜相比，更容易获得超分辨率聚焦。然而，受目前微加工技术的限制，在可接受的加工成本范围内，只能在可见光波段制备高NA小型菲涅尔波带片或低NA大型菲涅尔波带片。

通常对于菲涅尔波带片，照明波长等于或接近设计波长。然而，当照明波长偏离设计波长时，菲涅尔波带片会发生明显的色散。在一定的波长范围内，轴向色散曲线为负且接近线性。根据低NA菲涅尔波带片的色散聚焦特性，用矢量角谱理论可精确计算其电场强度分布，但实际成像和测量过程很少受到偏振的影响，特别是在低NA光学系统下。其原因是纵向偏振分量EZ不能通过低NA光学系统传播。从矢量角谱理论可以得到菲涅尔波带片后任意平面上的三维光场分布。

当照明波长偏离设计波长时，在标量衍射理论的框架下，可以定性地计算出菲涅尔波带片的焦距变化范围：

式中，Δλ和Δf分别表示照明波长和焦距的变化。根据式(7)可计算其近似色散范围。

二元衍射透镜是用氮化硅在玻璃基板上制备的。为了提高基材的透光率，通过交替涂覆四层五氧化二钛和二氧化硅来实现增透涂层。在400～900 nm的波长范围内，通过式(7)计算可得线性色散范围为0.879 mm。测量的反射率小于0.5%。然后通过标准的光刻工艺来制备二元衍射透镜。根据中心波长588 nm计算得到氮化硅的刻蚀深度为293 nm(λ=n·d，其中n为折射率 2.008)，因此相邻区域之间的相位差为180°，以最大化焦强度。

通过ZEMAX软件对上述二元衍射透镜进行仿真分析。设置入瞳直径为30 mm，设计波长选择F、D、C可见光波长分别为 486 nm，588 nm和656 nm，其中主波长设为588 nm。系统设计焦距为50 mm，二元透镜衍射级次设为1，归一化半径为15 mm，二次项系数与四次项系数均设为变量进行优化处理，具体结构参数如表1所示。仿真光路图如图3所示。

表1 二元色散镜仿真参数

图3 二元透镜仿真光路图

由优化结果可知，该二元透镜的轴向色散范围为881.8 μm，线性度良好，与(7)式计算的理论值相当。具体的波长与聚焦位置的对应关系如图4所示。

图4 二元色散镜波长与焦移的关系

由于二元衍射透镜上各点的聚光能力不同，从无穷远处来的平行光线在理论上应该会聚在焦点上，但是由于近轴光线与远轴光线的会聚点不一致，会聚光线并不是形成一个点，而是一个以光轴为中心对称的弥散圆，因此就形成了球差。仿真结果对轴向球差进行了校正，如图5所示为F、D、C三色波长的轴向球差，其中设计波长处的轴向球差校正良好。

图5 轴向球差

利用点列图评估系统的像差情况，物方的点通过光学系统，实际并不能形成完美像点，而是形成弥散斑，弥散斑的大小是评价光学系统好坏的标准。如图6所示，设计波长焦点处的RMS半径为0.309 μm，弥散斑直径小于艾里斑直径，像差基本校正到了衍射极限。

图6 设计波长离焦点列图

准确的提取出光谱信号中的峰值波长是整个二元系统数据处理中重要的一环。从白光光源发出的复色光在经过二元镜和显微镜最终反射回光谱仪被采集的过程中会产生各种噪声，如光谱仪噪声、光源噪声等，这些噪声会影响光谱信号的形状甚至降低峰值波长的提取准确性。因此需要对光谱信号进行预处理后[11]再采取适当的算法进行峰值波长的提取。

首先需要对由二元透镜内部光学表面和光纤耦合器端面反射回来的杂散光等组成的暗信号进行处理。处理的方法是将二元镜头用深色遮挡板挡住，使得光谱仪采集到的信号只有暗信号。此后的测量过程中光谱仪采集到的光谱信号都需要删减掉暗信号的增量，从而获得测量所需的光谱信号。在对光谱信号去除暗信号操作后，对光谱信号中的每一个数据都除以对应的光源光谱光强的最大值，实现光谱特性归一化处理[12]来避免光谱光强峰值大小的变化和光谱光强曲线的峰值波长的微小偏移所产生的系统误差，图7为被测物在不同位置时的光谱光强归一化分布。

图7 被测物在不同位置时的光谱光强分布

同时整个系统在各个环节都会产生随机噪声，通过中值滤波[13]能够有效滤除噪声，并且算法简单，中值滤波的算法为：

式中：x1,x2,x3· ··xn——窗口数据点；

y1,y2,y3· ··yn——从小到大排列后的数据点形式。

经过上述信号预处理后，采用加权质心算法[14]对峰值波长的提取才是准确的。该方法增大了光强大的点在确定峰值波长时的权重，光强大的点离峰值中心也越近，信噪比也较高，从而对峰值波长提取影响力进一步加大，精度得到提升。其公式可表述为：

式中：xc——质心位置；

n——序列总个数；

λi与Ii——光谱序列与对应的光强序列。

4.1 实验装置

在光学平台上完成了对二元显微位移测量系统的搭建，如图8所示，它由白光LED光源、光谱仪、二元衍射透镜、显微物镜、光纤耦合器和纳米位移台等组成。

图8 二元色散光谱共焦测距实物图

实验所用光源波长范围为400～900 nm，光谱仪的分辨率为0.2 nm，采用直径为400 μm的多模光纤。二元衍射透镜设计波长λ0为588 nm，设计焦距fc为50 mm，线性色散范围为0.879 mm。显微物镜放大倍数分别为 50×和 100×，工作距离为0.38 mm和0.21 mm。所用PI纳米位移台的分辨率可达0.1 nm，重复精度±1 nm，线性误差为0.02%。

4.2 标定拟合误差及重复性

被测物选择标准量块，分别选择放大倍数为50×和100×的显微物镜与二元衍射透镜进行组合，对整个系统用PI纳米位移台进行标定和测量。标定开始前，将标准量块固定在纳米位移台上，并将其移动到某一位置作为标定的起始位置，将纳米位移台的读数清零。标定开始时，使纳米位移台沿着轴向运动，对于放大倍数为50×和100×的显微物镜组合系统，测量范围分别为100 μm和40 μm，纳米位移台每次步进距离分别为4 μm和2 μm，对每个标定点均进行3次信息采集，每次保存光谱仪的数据和纳米位移台位移值。两组标定过程所采集的标定点的个数分别为25个和20个。随后，对每个测量点3次平均后的峰值波长和纳米位移台位移值进行曲线拟合，从而获得峰值波长和位移的关系曲线。图9为经过六次多项式拟合[15]后的拟合曲线结果，选用 50×物镜在 400～900 nm波段对应的位移为100 μm，具体表达式为：

图9 标定拟合结果

选用100×物镜在400～900 nm波段对应的位移为40 μm，具体表达式为：

每个标定点的拟合误差如图10所示，其中50×物镜的测量系统最大拟合误差为0.090 5 μm，平均拟合误差为0.039 3 μm。100×物镜的测量系统最大拟合误差为0.088 9 μm，平均拟合误差为0.034 9 μm。

图10 拟合误差

系统的重复性结果如表2所示，对于50×物镜的测量系统，25个标定点的3次测量的平均峰值波长用表示，表示平均峰值波长偏差，表示对应的平均位移偏差，由表可知，峰值波长的最大偏差值为0.378nm，总平均波长偏差值为0.177nm，对应的总平均位移偏差值为0.058 7μm。对于100×物镜的测量系统，20个标定点的3次测量的平均峰值波长用表示，表示平均峰值波长偏差，表示对应的平均位移偏差，由表可知，峰值波长的最大偏差值为0.244 nm，总平均波长偏差值为0.130 nm，对应的总平均位移偏差值为0.043 5 μm。

表2 系统重复性结果

4.3 测量误差及轴向分辨率

更换被测量块，对50×物镜系统进行全量程范围内的三次测量，测量范围100 μm，测量起始点处的平均峰值波长为406.949 nm，测量结束点处的平均峰值波长为687.072 nm，纳米位移台和光谱仪记录25个测量点的数据。将光谱仪的数据进行处理计算出峰值波长代入(10)式求得位移，随后计算与纳米位移台位移的偏差值，如图11所示，横坐标为纳米位移台位移值，纵坐标为偏差值。由图知，测量误差最大为0.217 μm，平均偏差值为0.068 8 μm。随后更换100×物镜，对同一被测件进行实验，测量范围为40 μm，测量起始点处的平均峰值波长为432.453 nm，测量结束点处的平均峰值波长为806.963 nm，纳米位移台和光谱仪记录20个测量点的数据，最终得到测量误差最大为0.112 μm，平均偏差值为 0.046 2 μm。

图11 系统测量误差

由上述实验结果可知，采用100×显微物镜和二元衍射透镜搭建的位移系统测量精度更高，对此系统进行轴向分辨率测试，更换被测量块，分别以0.2 μm、0.4 μm、0.8 μm、1 μm 为步距对被测物进行5次往复步距运动，每次移动后采集光谱响应曲线10次，根据式(11)计算相对位移。实验表明，由于环境等因素的影响，当步距为0.2 μm时，纳米位移台的示值变化范围达0.04 μm，由图12知，系统的轴向分辨率优于0.2 μm。

图12 系统轴向分辨率

本文基于光谱共焦位移测量原理，提出了一种基于二元衍射的光谱共焦显微位移测量方法。利用矢量角谱理论精确计算了二元衍射透镜的色散聚焦特性，采用标准光刻技术制作了二元镜，并用仿真软件对二元衍射透镜的结构和色散特性进行分析，得到其轴向色散特性较好，像差较小。在上述基础上对测量系统进行了搭建，采用合适的数据处理方法建立了峰值波长和位移之间的关系，由实验结果可知，在400～900 nm光谱范围内，50×显微物镜和二元衍射透镜搭建的系统的测量范围为100 μm，平均测量精度达到0.068 8 μm；
100×显微物镜和二元衍射透镜搭建的系统的测量范围为40 μm，平均测量精度达到0.046 2 μm。选用100×显微物镜的位移测量系统能达到更高的测量精度，且系统的轴向分辨率优于0.2 μm。该测量系统可广泛应用于原子光学、共焦成像、全息显微镜等多领域，在工程领域具有很高的应用价值。

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