第2讲　参数方程

第 2 讲 参数方程

　一、知识梳理 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么  x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

　名称 普通方程 参数方程 直线 y－y 0 ＝k(x－x 0 )   x＝x 0 ＋tcos αy＝y 0 ＋tsin α (t 为参数) 圆 (x－x 0 ) 2 ＋(y－y 0 ) 2 ＝R 2

　  x＝x 0 ＋Rcos θy＝y 0 ＋Rsin θ (θ 为参数且 0≤θ<2π) 椭圆 x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)   x＝acos ty＝bsin t (t 为参数且 0≤t<2π) 抛物线 y 2 ＝2px(p>0)   x＝2pt 2y＝2pt(t 为参数) 常用结论 1．直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：

　已知直线 l 经过点 M 0 (x 0 ，y 0 )，倾斜角为 α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参数方程为  x＝x 0 ＋tcos α ，y＝y 0 ＋tsin α(t 为参数)． ①若 M 1 ，M 2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，则|M 0 M 1→| |M 0 M 2→|＝|t 1 t 2 |，|M 1 M 2→|＝|t 2 －t 1 |＝ （t 2 ＋t 1 ）

　2 －4t 1 t 2 ； ②若线段 M 1 M 2 的中点为 M 3 ，点 M 1 ，M 2 ，M 3 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，t 3 ，则 t 3 ＝ t1 ＋t 22； ③若直线 l 上的线段 M 1 M 2 的中点为 M 0 (x 0 ，y 0 )，则 t 1 ＋t 2 ＝0，t 1 t 2 <0. (2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义． 2．掌握圆的参数方程的两种应用 (1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系． (2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题． 二、教材衍化 1．曲线  x＝－1＋cos θ ，y＝2＋sin θ(θ 为参数)的对称中心(

　) A．在直线 y＝2x 上

　B．在直线 y＝－2x 上 C．在直线 y＝x－1 上

　D．在直线 y＝x＋1 上 解析：选 B.由  x＝－1＋cos θ ，y＝2＋sin θ ，得  cos θ ＝x＋1，sin θ ＝y－2. 所以(x＋1) 2 ＋(y－2) 2 ＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线 y＝－2x 上． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：  x＝t，y＝t－a (t 为参数)过椭圆 C：

　  x＝3cos φ ，y＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________． 解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， 椭圆 C 的普通方程为 x29 ＋y 24 ＝1， 所以椭圆 C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线 l 过点(3，0)， 则 3－a＝0， 所以 a＝3. 答案：3

　一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程  x＝f（t），y＝g（t）中的 x，y 都是参数 t 的函数．(

　) (2)过 M 0 (x 0 ，y 0 )，倾斜角为 α α≠ π2的直线 l 的参数方程为  x＝x 0 ＋tcos α ，y＝y 0 ＋tsin α(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段 M 0 M的数量．(

　) (3)方程  x＝2cos θ ，y＝1＋2sin θ (θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆．(

　) (4)已知椭圆的参数方程  x＝2cos t，y＝4sin t(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝ π3 ，点 O为原点，则直线 OM 的斜率为 3.(

　) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏 常见误区 | Ｋ(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错． 1．若曲线 C 的参数方程为  x＝1＋cos 2 θ ，y＝sin 2 θ(θ 为参数)，则曲线 C 上的点的轨迹是(

　) A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2，0)为端点的射线 C．圆(x－1) 2 ＋y 2 ＝1 D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段 解析：选 D.将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故选 D. 2．已知直线  x＝x 0 ＋at，y＝y 0 ＋bt(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t 1 ，t 2 ，则|AB|＝(

　) A．|t 1 ＋t 2 |

　B．|t 1 －t 2 | C. a 2 ＋b 2 |t 1 －t 2 |

　D．|t 1 －t 2 |a 2 ＋b 2

　解 析 ：

　选 C. 依 题 意 ， A(x 0 ＋ at 1 ， y 0 ＋ bt 1 ) ， B(x 0 ＋ at 2 ， y 0 ＋ bt 2 ) ， 则 |AB| ＝[x 0 ＋at 1 －（x 0 ＋at 2 ）] 2 ＋[y 0 ＋bt 1 －（y 0 ＋bt 2 ）] 2 ＝ a 2 ＋b 2 |t 1 －t 2 |.故选 C. 3．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ(cos θ ＋sin θ )＝－2，曲线 C 2 的参数方程为   x＝t2 ，y＝2 2t (t 为参数)，则 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为________． 解析：由 ρ(cos θ ＋sin θ )＝－2，得 x＋y＝－2 ①. 又   x＝t2 ，y＝2 2t， 消去 t，得 y2 ＝8x ②. 联立①②得  x＝2，y＝－4， 即交点坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)

　参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程． (1) x＝ 1t ，y＝ 1tt 2 －1(t 为参数)； (2)  x＝2＋sin 2 θ ，y＝－1＋cos 2 θ (θ 为参数)． 解：(1)由 t 2 －1≥0⇒t≥1 或 t≤－1 ⇒0<x≤1 或－1≤x<0.由 x＝ 1t ①，y＝ 1tt 2 －1②， ①式代入②式得 x 2 ＋y 2 ＝1. 其中  0<x≤1，0≤y<1或  －1≤x<0，－1<y≤0. (2)由 x＝2＋sin 2 θ ，0≤sin 2 θ ≤1 ⇒2≤2＋sin 2 θ ≤3⇒2≤x≤3，   x＝2＋sin 2 θ ，y＝－1＋cos 2θ ⇒   x－2＝sin 2 θ ，y＝－1＋1－2sin 2 θ ⇒   x－2＝sin 2 θ ，y＝－2sin 2 θ⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 2．已知曲线 C 1 ：  x＝－4＋cos t，y＝3＋sin t(t 为参数)，曲线 C 2 ：  x＝8cos θ ，y＝3sin θ(θ 为参数)．化C 1 ，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 解：曲线 C 1 ：(x＋4) 2 ＋(y－3) 2 ＝1，曲线 C 2 ：

　x264 ＋y 29 ＝1， 所以曲线 C 1 是以(－4，3)为圆心，1 为半径的圆； 曲线 C 2 是中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆． 错误! ! 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin 2 θ ＋cos 2 θ ＝1 等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

　参数方程的应用(师生共研)

　(2020·安徽宣城模拟)在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的参数方程为  x＝2cos θ ，y＝2sin θ(θ为参数)，直线 l 的参数方程为  x＝2＋t，y＝4＋t(t 为参数)． (1)若直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，求弦长|AB|，若点 P(2，4)，求|PA|·|PB|的值； (2)以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ ＋2 3sin θ ，圆 O 和圆 C 的交点为 P，Q，求弦 PQ 所在直线的直角坐标方程． 【解】

　(1)由直线 l 的参数方程  x＝2＋t，y＝4＋t(t 为参数)，消去参数 t 可得 x－y＋2＝0，即直线 l 的普通方程为 x－y＋2＝0. 圆 O 的参数方程为  x＝2cos θ ，y＝2sin θ(θ 为参数)，根据 sin 2 θ ＋cos 2 θ ＝1 消去参数 θ，可得x 2 ＋y 2 ＝4，所以圆心 O 到直线 l 的距离 d＝22 ＝ 2，故弦长|AB|＝2r 2 －d 2 ＝2 2. 把直线 l 的参数方程标准化可得 x＝2＋22t，y＝4＋22t，将其代入圆 O 的方程 x 2 ＋y 2 ＝4 得 t 2 ＋6 2t＋16＝0， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ， 所以|PA|·|PB|＝|t 1 t 2 |＝16. (2)圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ ＋2 3sin θ ，利用 ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ， ρ cos θ ＝x， ρ sin θ ＝y，可得圆 C 的普通方程为 x 2 ＋y 2 ＝2x＋2 3y. 因为圆 O 的直角坐标方程为 x 2 ＋y 2 ＝4，所以弦 PQ 所在直线的直角坐标方程为 4＝2x＋2 3y，即 x＋ 3y－2＝0. 错误! ! (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：

　过定点 M 0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M 1 ，M 2 ，所对应的参数分别为 t 1 ，t 2 . ①弦长 l＝|t 1 －t 2 |； ②弦 M 1 M 2 的中点⇒t 1 ＋t 2 ＝0； ③|M 0 M 1 ||M 0 M 2 |＝|t 1 t 2 |.

　1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ－ π3，直线 l 过点 P(0，－ 3)且倾斜角为 π3 . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|的值． 解：(1)曲线 C：ρ＝4cos θ－ π3⇒ ρ ＝4cos θ cos π3 ＋4sin θ sin π3 ， 所以 ρ 2 ＝2ρcos θ ＋2 3ρsin θ ， 即 x 2 ＋y 2 ＝2x＋2 3y， 得曲线 C 的直角坐标方程为(x－1) 2 ＋(y－ 3) 2 ＝4. 直线 l 的参数方程为 x＝12 t，y＝－ 3＋32t(t 为参数)． (2)将 x＝12 t，y＝－ 3＋32t(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得 12 t－12＋ 32t－2 32＝4， 整理得 t 2 －7t＋9＝0，设点 A，B 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，则 t 1 ＋t 2 ＝7，t 1 t 2 ＝9，所以t 1 >0，t 2 >0，所以|PA|＋|PB|＝t 1 ＋t 2 ＝7. 2．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为  x＝3cos θ ，y＝sin θ(θ 为参数)，直线 l 的参数方程为  x＝a＋4t，y＝1－t(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解：(1)曲线 C 的普通方程为 x29 ＋y2 ＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0. 由 x＋4y－3＝0，x 29 ＋y2 ＝1， 解得  x＝3，y＝0或 x＝－ 2125 ，y＝ 2425 . 从而 C 与 l 的交点坐标为(3，0)， － 2125 ，2425. (2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cos θ ，sin θ )到 l 的距离为 d＝ |3cos θ ＋4sin θ －a－4|17＝ |5sin（θ＋φ）－a－4|17，φ 满足 tan φ＝ 34 . 当－a－4≤0，即 a≥－4 时，d 的最大值为 a＋917 . 由题设得 a＋917＝ 17，所以 a＝8； 当－a－4>0，即 a<－4 时，d 的最大值为 －a＋117， 由题设得 －a＋117＝ 17，所以 a＝－16. 综上，a＝8 或 a＝－16.

　参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)

　(2020·淄博模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x＝ 3＋tcos α ，y＝2＋tsin α(α 为参数)．在以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝21＋3cos 2 θ ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B. (1)若 α＝ π6 ，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中 P( 3，2)，求直线 l 的斜率． 【解】

　(1)因为 α＝ π6 ，所以直线 l 的参数方程为  x＝ 3＋32t，y＝2＋ 12 t(t 为参数)． 消 t 可得直线 l 的普通方程为 x－ 3y＋ 3＝0. 因为曲线 C 的极坐标方程 ρ＝21＋3cos 2 θ 可化为 ρ2 (1＋3cos 2 θ )＝4， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 4x 2 ＋y 2 ＝4. (2)设直线 l 上两点 A，B 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ， 将   x＝ 3＋tcos α ，y＝2＋tsin α代入曲线 C 的直角坐标方程 4x 2 ＋y 2 ＝4 可得 4( 3＋tcos α ) 2 ＋(2＋tsin α ) 2 ＝4， 化简得(4cos 2 α ＋sin 2 α )t 2 ＋(8 3cos α ＋4sin α )t＋12＝0， 因为|PA|·|PB|＝|t 1 t 2 |＝124cos 2 α ＋sin 2 α ，|OP|2 ＝7， 所以124cos 2 α ＋sin 2 α ＝7，解得 tan2 α ＝ 165. 因为 Δ＝(8 3cos α ＋4sin α ) 2 －48(4cos 2 α ＋sin 2 α )>0 即 2sin α (2 3cos α －sin α )>0，可知 tan α >0， 解得 tan α ＝ 4 55， 所以直线 l 的斜率为 4 55. 错误! ! (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

　1．(2020·河南省第五次测评)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 ：

　  x＝ 5cos α ，y＝2＋ 5sin α (α 为参数)．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 ：ρ 2 ＝4ρcos θ －3. (1)求 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 1 与 C 2 交于 A，B 两点，A，B 的中点为 M，点 P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值． 解：(1)曲线 C 1 的普通方程为 x 2 ＋(y－2) 2 ＝5. 由 ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ， ρ cos θ ＝x，得曲线 C 2 的直角坐标方程为 x 2 ＋y 2 －4x＋3＝0. (2)将两圆的方程 x 2 ＋(y－2) 2 ＝5 与 x 2 ＋y 2 －4x＋3＝0 作差得直线 AB 的方程为 x－y－1＝0. 点 P(0，－1)在直线 AB 上，设直线 AB 的参数方程为 x＝22t，y＝－1＋22t(t 为参数)， 代入 x 2 ＋y 2 －4x＋3＝0 化简得 t 2 －3 2t＋4＝0，所以 t 1 ＋t 2 ＝3 2，t 1 t 2 ＝4. 因为点 M 对应的参数为 t1 ＋t 22＝ 3 22， 所以|PM|·|AB|＝ t 1 ＋t 22·|t 1 －t 2 |＝ 3 22× （t 1 ＋t 2 ）

　2 －4t 1 t 2 ＝ 3 22× 18－4×4＝3. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝ 1－t21＋t 2 ，y＝4t1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ ＋ 3ρsin θ ＋11＝0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值． 解：(1)因为－1＜ 1－t21＋t 2 ≤1， 且 x 2 ＋ y22＝  1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2 ）

　2 ＝1， 所以 C 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y24 ＝1(x≠－1)． l 的直角坐标方程为 2x＋ 3y＋11＝0. (2)由(1)可设 C 的参数方程为  x＝cos α ，y＝2sin α(α 为参数，－π＜α＜π)． C 上的点到 l 的距离为 |2cos α ＋2 3sin α ＋11|7＝4cos α － π3＋117. 当 α＝－ 2π3时，4cos α－ π3＋11 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.

　 [基础题组练] 1．(2020·安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： x＝－12 t，y＝3＋32t(t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ＋ π3 )． (1)求曲线 C 的直角坐标方程． (2)设点 M 的直角坐标为(0，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|＋|MB|的值． 解：(1)把 ρ＝4sin θ＋ π3，展开得 ρ＝2sin θ ＋2 3 cos θ ，两边同乘 ρ 得 ρ 2 ＝2ρsin θ＋2 3ρcos θ

　①. 将 ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ， ρ cos θ ＝x， ρ sin θ ＝y 代入①， 即得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＋y 2 －2 3x－2y＝0 ②. (2)将 x＝－12 t，y＝3＋32t代入②式，得 t 2 ＋3 3t＋3＝0， 点 M 的直角坐标为(0，3)． 设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ，t 2 ， 则 t 1 ＋t 2 ＝－3 3，t 1 ·t 2 ＝3， 所以 t 1 <0，t 2 <0. 则由参数 t 的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t 1 ＋t 2 |＝3 3. 2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： x＝1＋2cos α ，y＝ 3＋2sin α(α 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l：  x＝tcos φ ，y＝tsin φ(t 为参数)被圆 C 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的倾斜角． 解：(1)圆 C：

　  x＝1＋2cos α ，y＝ 3＋2sin α ， 消去参数 α 得(x－1)2 ＋(y－ 3) 2 ＝4， 即 x 2 ＋y 2 －2x－2 3y＝0， 因为 ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ，x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ . 所以 ρ 2 －2ρcos θ －2 3ρsin θ ＝0， ρ ＝4cos θ－ π3. (2)因为直线 l：  x＝tcos φ ，y＝tsin φ的极坐标方程为 θ＝φ， 当 θ＝φ 时 ρ＝4cos φ－ π3＝2 3. 即 cos φ－ π3＝32， 所以 φ－ π3 ＝π6 或 φ－π3 ＝－π6 . 所以 φ＝ π2 或 φ＝π6 ， 所以直线 l 的倾斜角为 π6 或π2 . 3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为  x＝2t－1，y＝－4t－2 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝21－cos θ .

　(1)求曲线 C 2 的直角坐标方程； (2)设 M 1 是曲线 C 1 上的点，M 2 是曲线 C 2 上的点，求|M 1 M 2 |的最小值． 解：(1)因为 ρ＝21－cos θ ， 所以 ρ－ρcos θ ＝2， 即 ρ＝ρcos θ ＋2. 因为 x＝ρcos θ ， ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ， 所以 x 2 ＋y 2 ＝(x＋2) 2 ，化简得 y 2 －4x－4＝0. 所以曲线 C 2 的直角坐标方程为 y 2 －4x－4＝0. (2)因为  x＝2t－1，y＝－4t－2，

　所以 2x＋y＋4＝0. 所以曲线 C 1 的普通方程为 2x＋y＋4＝0. 因为 M 1 是曲线 C 1 上的点，M 2 是曲线 C 2 上的点， 所以|M 1 M 2 |的最小值等于点 M 2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离的最小值． 不妨设 M 2 (r 2 －1，2r)，点 M 2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离为 d， 则 d＝ 2|r2 ＋r＋1|5＝2 r＋ 122＋ 345≥32 5 ＝3 510， 当且仅当 r＝－ 12 时取等号． 所以|M 1 M 2 |的最小值为 3 510. 4．在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为  x＝3cos α ，y＝2sin α(α 为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ－ π6. (1)写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程； (2)若过点 A 2 2， π4(极坐标)且倾斜角为 π3 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，弦 MN的中点为 P，求|AP||AM|·|AN| 的值． 解：(1)由题意可得曲线 C 的普通方程为 x29 ＋y 24 ＝1， 将  x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ代入曲线 C 的普通方程可得，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2 cos 2 θ9＋ ρ2 sin 2 θ4＝1. 因为曲线 D 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ－ π6， 所以 ρ 2 ＝4ρsin θ－ π6＝4ρ 32sin θ － 12 cos θ， 又 ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ，x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ ， 所以 x 2 ＋y 2 ＝2 3y－2x， 所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ2 cos 2 θ9＋ ρ2 sin 2 θ4＝1；曲线 D 的直角坐标方程为 x 2 ＋y 2 ＋2x－2 3y＝0. (2)点 A 2 2， π4，则 x＝2 2cos π4 ＝2，y＝2 2sin π4 ＝2，所以 A(2，2)． 因为直线 l 过点 A(2，2)且倾斜角为 π3 ，所以直线 l 的参数方程为  x＝2＋tcos π3 ，y＝2＋tsin π3(t 为参数)，代入 x29 ＋y 24 ＝1 中可得，314t 2 ＋(8＋18 3)t＋16＝0， 设 M，N 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ， 由一元二次方程根与系数的关系得，t 1 ＋t 2 ＝－ 32＋72 331，t 1 t 2 ＝ 6431 ， 所以|AP||AM|·|AN| ＝t 1 ＋t 22|t 1 t 2 |＝ 4＋9 316. [综合题组练] 1．(2020·广州模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 ：

　  x＝2＋ 7cos α ，y＝ 7sin α(α 为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝8cos θ ，直线l 的极坐标方程为 θ＝ π3 (ρ∈R)． (1)求曲线 C 1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 1 ，C 2 在第一象限分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C 2 上的动点，求△PAB 面积的最大值． 解：(1)依题意得，曲线 C 1 的普通方程为(x－2) 2 ＋y 2 ＝7，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 －4ρcos θ －3＝0. 直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. (2)曲线 C 2 的直角坐标方程为(x－4) 2 ＋y 2 ＝16， 设 A ρ 1 ， π3，B ρ 2 ， π3， 则 ρ 2 1 －4ρ 1 cos π3 －3＝0，即 ρ21 －2ρ 1 －3＝0， 得 ρ 1 ＝3 或 ρ 1 ＝－1(舍)， 又 ρ 2 ＝8cos π3 ＝4，则|AB|＝|ρ 2 －ρ 1 |＝1. C 2 (4，0)到 l 的距离 d＝ |4 3|4＝2 3，以 AB 为底边的△PAB 的高的最大值为 4＋2 3， 则△PAB 的面积的最大值为 12 ×1×(4＋2 3)＝2＋ 3. 2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ －ρsin θ ＝2，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin 2 θ＝2Pcos θ (P>0)． (1)求直线 l 过点(－2，－4)的参数方程； (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 N，Q 两点，M(－2，－4)，且|NQ| 2 ＝|MN|·|MQ|，求实数 P的值． 解：(1)将 x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ 代入直线 l 的极坐标方程，得直线 l 的直角坐标方程为 x－y－2＝0. 所以直线 l 过点(－2，－4)的参数方程为 x＝－2＋22t，y＝－4＋22t(t 为参数)． (2)由 ρsin 2 θ ＝2Pcos θ (P>0)， 得(ρsin θ ) 2 ＝2Pρcos θ (P>0)， 将 ρcos θ ＝x， ρ sin θ ＝y 代入，得 y 2 ＝2Px(P>0)． 将直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程联立，得 t 2 －2 2(4＋P)t＋8(4＋P)＝0，(*) Δ ＝8P(4＋P)>0. 设点 N，Q 分别对应参数 t 1 ，t 2 ，恰好为上述方程的根， 则|MN|＝t 1 ，|MQ|＝t 2 ，|NQ|＝|t 1 －t 2 |. 由题设得(t 1 －t 2 ) 2 ＝|t 1 t 2 |，即(t 1 ＋t 2 ) 2 －4t 1 t 2 ＝|t 1 t 2 |. 由(*)得 t 1 ＋t 2 ＝2 2(4＋P)，t 1 t 2 ＝8(4＋P)>0， 则有(4＋P) 2 －5(4＋P)＝0， 得 P＝1 或 P＝－4.因为 P>0，所以 P＝1. 3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为  x＝acos t，y＝2sin t(t 为参数，a>0)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＋ π4＝－4 2. (1)设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a＝2 3时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值； (2)若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围． 解：(1)由 ρcos θ＋ π4＝－4 2，得到 ρ(cos θ －sin θ )＝－8， 因为 ρcos θ ＝x， ρ sin θ ＝y， 所以直线 l 的普通方程为 x－y＋8＝0. 设 P(2 3cos t，2sin t)，则点 P 到直线 l 的距离 d＝ |2 3cos t－2sin t＋8|2＝|4sin t－ π3－8|2 ＝2 2|sin t－ π3－2|， 当 sin t－ π3＝1 时，d min ＝2 2， 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2. (2)设曲线 C 上任意点 P(acos t，2sin t)，由于曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方， 所以 acos t－2sin t＋8>0 对任意 t∈R 恒成立． a 2 ＋4sin(t－φ)<8，其中 cos φ＝2a 2 ＋4 ， sin φ＝aa 2 ＋4 . 从而 a 2 ＋4<8. 由于 a>0，解得 0<a<2 15. 即 a∈(0，2 15)． 4．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为   x＝－5＋ 2cos t，y＝3＋ 2sin t(t 为参数)，在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ＋π4 )＝－ 2. (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任意一点，求 A，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值． 解：(1)由   x＝－5＋ 2cos t，y＝3＋ 2sin t，消去参数 t， 得(x＋5) 2 ＋(y－3) 2 ＝2， 所以圆 C 的普通方程为(x＋5) 2 ＋(y－3) 2 ＝2. 由 ρcos (θ＋ π4 )＝－ 2，得 ρcos θ －ρsin θ ＝－2， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0. (2)直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为 A(2，π)，B 2， π2， 设点 P 的坐标为(－5＋ 2cos t，3＋ 2sin t)，则点 P 到直线 l 的距离为 d＝|－5＋ 2cos t－3－ 2sin t＋2|2 ＝|－6＋2cos t＋ π4|2. 所以 d min ＝42 ＝2 2，又|AB|＝2 2. 所以△PAB 面积的最小值是 S＝ 12 ×2 2×2 2＝4.

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