【例谈构造法求递推数列的通项公式】数列递推构造法

　　数列问题历年来都是高考命题的热点，由于所给的递推形式千变万化，从而使其通项公式成为教学难点，本文主要谈谈如何构造辅助数列去求解析几何类常见数列的递推公式.� 　　一、a�n=a・a��n-1�+b型�
　　形如a�n=a・a��n-1�+b(a,b为常数且a≠0,1,b≠0)的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归，转化为新的等比数列a�n+t=�a(a��n-1�+t)，�最后通过新的等比数列进行求解和转化.�
　　【例1】 已知数列｛a�n｝中，a�1=2,a��n+1�=(2-1)(a�n+2)，求数列｛a�n｝的通项公式.�
　　解：设a��n+1�+t=(2-1)(a�n+t)，所以t=1，所以a��n+1�+1=(2-1)(a�n+1)，即a��n+1�+1a�n+1=2-1，所以数列｛a�n+1｝是以a�1+1=2+1=3为首项，以2-1为公比的等比数列，所以通项公式为a�n+1=3×(2-1)��n-1�，从而a�n=3×(2-1)��n-1�-1.�
　　评析：根据a��n+1�、a�n的线性关系，用待定系数法构造一个新的等比数列，最终求出通项公式.这种类型的递推关系在高考中是比较常见的，属于常规题.�
　　二、a��n+1�=a・a�n+f(n)型�
　　若a=1，用累加法进行求解；若a≠1，则对f(n)进行分类：�
　　1.当f(n)=pn+q时，将原式变形为a��n+1�+A(n+1)+B=a(a�n+An+B)，根据待定系数法和系数对比得：A=pa-1,B=qa-1+p(a-1)�2
　　，从而构造一个新的等比数列｛a�n+An+B｝，首项为a�1+A+B，公比为a，从而求出a�n=(a�1+A+B)・a��n-1�-An-B.�
　　2.当f(n)=pn�2+qn+r时，将原式变形为a��n+1�+�A(n+1)�2+�B(n+1)+C=a(a�n+An�2+Bn+C)，从而构造一个新的等比数列｛a�n+An�2+Bn+C｝，余下步骤同上.�
　　【例2】 设数列{a�n}中，a�1=1，a��n+1�=3a+2n+1，求数列{a�n}的通项公式.�
　　解：设a��n+1�+A(n+1)+B=3(a�n+An+B)，∴a��n+1�=3a�n+2An+2B-A，与原式系数对比得：A=1，B=1,∴a��n+1�+(n+1)+1=3(a�n+n+1)，数列{a�n+n+1}是以a�1+1×1+1=3为首项，3为公比的等比数列，∴
　　a�n+n+1=3×3��n-1�，即a�n=3×3��n-1�-n-1=3�n-n-1.�
　　【例3】 数列{a�n}中，a�1=1,a��n+1�=2a�n-n�2+3n(n∈N�*)，求数列{a�n}的通项公式.�
　　解：设a��n+1�-A(n+1)�2+B(n+1)=2(a�n-An�2+Bn)，∴a��n+1�=2a�n-An�2+(2A+B)n+A-B，系数对比得：A=1,B=1，所以a��n+1�-(n+1)�2+(n+1)=2(a�n-n�2+n)，数列{a�n-n�2+n}是以a�1-1�2+1=1为首项，公比为2的等比数列，∴a�n-n�2+n=1×2��n-1�，即a�n=2��n-1�+n�2-n.�
　　评析：此类题目通过待定系数法巧妙确定参数A、B的值，把递推关系式加以转化和化归为熟悉的等比数列问题，再用相应的等比数列性质来求解通项公式.�
　　三、a�n=ca��n-1�+d・b�n型�
　　 此类递推类型的通项公式，一般可以通过左右两边同时除以b�n或同时加上λb��n+1�，使其化归为求由形如a��n+1�=a・a�n+f(n)确定的数列的通项公式.�
　　【例4】 设数列{a�n}中，a�1=1，a��n+1�=3a�n+2�n,求{a�n}的通项公式.�
　　解法1：∵a�1=1,a��n+1�=3a�n+2�n，两边除以2��n+1�得a��n+1�2��n+1�＝
　　32×a�n2�n+12
　　，令b�n=a�n2�n，所以b��n+1�=32b�n+12，再利用上面“a�n=a・a��n-1�+b型”进行求解.�
　　解法2：设a��n+1�+λ2��n+1�=3(a�n+λ2�n)，展开得a��n+1�=3a�n+2�n，系数对比得λ=1，所以a��n+1�+2��n+1�=3(a�n+2�n)，数列{a�n+2�n}是以a�1+2�1=1+2=3为首项，3为公比的等比数列，∴a�n+2�n=3×3��n-1�=3�n,即a�n=3�n-2�n.�
　　四、a��n+1�=c・a�na�n+d型�
　　 此类型是两边取倒数，运算中注意新数列的首项、公差或公比的变化.�
　　【例5】 数列{a�n}满足a�n≠0，且a�n=3a��n-1�a��n-1�+3(n≥2),a�1=12，求其通项公式a�n.�
　　解：∵a�n=3a��n-1�a��n-1�+3(n≥2)，两边取倒数得1a�n=1a��n-1�+13，所以数列{1a�n}是以1a�1=2为首项，13为公差的等差数列，∴1a�n=2+(n-1)×13，即a�n=3n+5.�
　　评析：在学习数列中，常会遇到一些用常规方法很难解决的分式问题，对于此类问题，若能根据题目所给的条件巧取倒数，再求解，往往会立竿见影，事半功倍.�
　　五、a��n+1�=c・a�p�n(c＞0,a�n＞0)型�
　　这种类型一般是两边取对数，得：�lg�a��n+1�=p�lg�a�n+�lg�c .�
　　【例6】 设正项数列{a�n}，其中a�1=1,且a�n=2a�2��n-1�(n≥2)，求数列{a�n}的通项公式.�
　　解：两边取对数得：�log��2a�n=2�log��2a��n-1�+�log��22=2�log��2a��n-1�+1，∴�log��2a�n+1=2(�log��2a��n-1�+1).设b�n=�log��2a�n+1,∴b�n=2b��n-1�，所以数列{b�n}是以b�1=�log��2a�1+1=�log��21+1=1为首项，公比为2的等比数列，故b�n=1×2��n-1�=2��n-1�，即�log��2a�n+1=2��n-1�,�log��2a�n=2��n-1�-1,∴a�n=2��2��n-1�-1�.
　　�
　　评析：本题解决的关键是等式两边同时取对数，从而将原来的次幂降低，而对数底数的选取可以因题而灵活处理，像本题也可以取以10为底的对数.�
　　六、a��n+1�=λa�n+μa��n-1�(λ、μ是不为零的常数）型�
　　此类型可变形为a��n+1�+p・a�n=k(a�n+p・a��n-1�)，则数列{a��n+1�+p・a�n}是公比为k的等比数列，就把问题转为类型一.�
　　【例7】 已知数列{a�n}满足a�1=1,a�2=2,a��n+1�=a�n+a��n+1�2,n∈N�*.�
　　(1) 令b�n=a��n+1�-a�n，证明{b�n}是等比数列;�
　　(2) 求{a�n}的通项公式.�
　　解：(1)由已知得：a��n+2�-a��n+1�=-12(a��n+1�-a�n),�∴b��n+1�=�-12b�n，即数列{b�n}是以b�1=a�2-a�1=2-1=1为首项，公比为-12的等比数列.�
　　(2)由(1)知，b�n=a��n+1�-a�n=(-12)��n-1�，�
　　当n≥2时， �
　　(a�2-a�1)+(a�3-a�2)+…+(a��n-1�-a��n-2�)+(a�n-a��n-1�)
　　=a�1+b�1+b�2+…+b��n-2�+b��n-1�
　　=1+(-12)�0+(-12)�1+…+(-12)��n-3�+(-12)��n-2�
　　=1+1-(-12)��n-1�
　　1-(-12)
　　=1+23［1-(-12)��n-1�］
　　=53-23(-12)��n-1�；�
　　当n=1时，�
　　53-23(-12)��1-1�=1=a�1.�
　　所以a�n=53-23(-12)��n-1�(n∈N�*).�
　　 用构造法求数列递推式的通项公式的类型较多，本文结合一些例子总结了常见的几种类型，旨在对此类知识归纳总结，为数列内容的复习提供一些帮助.�
　　
　　(责任编辑 金 铃）

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