二维热传导方程的推导【利用热传导方程推导Black-,Scholes期权定价模型】

　　摘要： Black- Scholes期权定价模型是金融领域中广泛应用的模型之一, 该模型的提出是金融理论界和实践界的一场革命。因此无论是做金融研究的学者还是金融业的从业人员都有必要对这个模型有一定了解，但是在各类文献中却很少有关于这一模型的详细推导过程。即使有些文献给出了一些较严格、详尽的推导过程，也由于要用到较高深的数学知识使人望而却步。本文从一个本科生的视角来理解这个公式，希望能方便更多的人来领略这一精妙创意的魅力。
　　关键词：Black- Scholes公式 Fourier变换 热传导方程
　　
　　引言：
　　1973年, Fischer Black教授和 Scholes教授在他们的论文《The Pricing of Options and Corporate Liabilities》中提出了具有划时代意义的期权定价模型即Black-Scholes期权定价模型;同年, Merton教授也发表了有关期权定价的论文《Theory of Rational Option Pricing》.这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础。尽管该模型的一些假设与现实不相符, 但是期权市场的价格与该公式的计算结果还是比较吻合的。下面给出该模型的推导方法。
　　模型推导：
　　一．建立Black-Scholes偏微分方程
　　借助于 Black-Scholes 模型的原始假设条件：
　　a) 无风险利率已知且不随时间变化
　　b)股票价格服从对数正态分布，且股票收益的波动率是常数
　　c)股票不付红利或其他收益
　　d)公式适用于欧式期权，即期权只能在到期日被执行
　　e)买卖股票不存在交易成本
　　f)可以以无风险利率无限量借入或贷出资金，且股票可无限细分
　　g)没有卖空限制
　　在这些假设条件下，期权的价格可以看作是股价s和交易期限t的函数
　　（一）构造如下证券组合
　　* 1单位股票（多头）
　　* N单位该股票的欧式看涨期权（空头）
　　若要使风险完全对冲
　　应有： （1）
　　当有 （2）
　　整理得 （3）
　　（二）由无套利定价法得到如下公式
　　 （4）
　　其中为C对s的一阶偏导数，r 为无风险利率
　　股票价格服从伊藤过程，由伊藤引理可得
　　 （5）
　　其中是c对s的二阶偏导数，为该股票的波动率
　　将5式代入4式中，整理后即可得出著名的Black-Scholes 偏微分方程
　　 （6）
　　对于欧式看涨期权，其价格c的边界条件为
　　 （7）
　　其中s为到期股票价格，E为敲定价格
　　二.Black-Scholes欧式期权定价公式的推导
　　为了将（6）式转化为齐次热传导方程，可做如下恒等变换
　　得 （8）
　　对应变量各阶偏导如下
　　 （9）
　　 (10)
　　 (11)
　　将（9）、（10）、（11） 三式代入（6）中得
　　 （12）
　　式中
　　由（8）式及恒等变换各变量的关系可得
　　 （13）
　　结合（7）式及T与t 的关系得出
　　 （14）
　　时 （15）
　　为进一步简化方程，可做如下变换。
　　令 （16）
　　将（16）式代入（12）式中得 (17)式
　　 （17）
　　取，
　　得，
　　再将代入（16）式，得到热传导方程的柯西问题
　　 （18）
　　 （19）
　　下面求解该方程
　　令，关于X进行Fourier变换，有下列等式
　　 （20）
　　 （21）
　　 （22）
　　由（21）、（22）两式得到如下常微分方程
　　 (23）
　　初始条件为
　　 (24)
　　解得
　　利用Fourier变换的卷积性质得
　　 （25）
　　得到
　　 （26）
　　令，得 （27）
　　将（27）式代入（26）式得
　　 （28）
　　由边界条件可知
　　当时， （29）
　　当时， （30）
　　将（30）式代入（28）式得
　　 （31）
　　令
　　得 （32）
　　其中是标准正态分布的概率分布函数
　　将K+1替换为K-1得到
　　 （33）
　　其中
　　结合（18）式及得
　　 （34）
　　 （35）
　　将代入（35）式得
　　 （36）
　　 （37）
　　 （38）
　　（36）式即为著名 Black-Scholes的期权定价模型，至此完成了该模型的推导。
　　结论：
　　Black-Scholes期权定价模型已成为现代金融经济理论的基石。虽然这个模型创立至今已有40余年，但它对整个金融业的影响并没有随着时间的流逝而减弱。在理论上，它将数学引入金融领域，使学者们的研究更加精确更有说服力。在实践上，它为华尔街乃至全球的金融市场带来了产品上的创新，为资本市场注入了新鲜的活力。作为金融衍生品定价的基础，每个致力于金融工程领域研究的人都应该对这个模型有充分的认识。这样才能在前人的基础上构建出更加完美的模型，推动整个金融领域向前发展。
　　参考文献：
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　　注释：
　　【1】 详细推导见参考文献[6]第七章Fourier变换 135-136
　　【2】 利用配方法及标准正态分布的概率分布函数即可推导出该结果
　　作者简介：乔嗣佳（1990―），男，辽宁鞍山人，本科在读，研究方向：金融衍生产品定价，

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