一道课本复习题的变式

课本中的任意一道题目都是教材编写者精挑细选的结果，可以说，每一道题都是凝聚着编者的智慧和意图的“好蘑菇”，那么，它们的周围肯定会有更多的“好蘑菇”等待着我们去寻找.人教A版教材必修1第二章复习参考题B组4：设f（x）=，g（x）=，求证：（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；（2）f（2x）=2f（x）g（x）；（3）g（2x）=[f（x）]2+[g（x）]2.变式1、可以判断函数f（x）、g（x）的奇偶性例如2010年高考广东理科、文科第3题：“若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）A. f（x）与g（x）均为偶函数；B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数；C. f（x）与g（x）均为奇函数；D. g（x）为偶函数，f（x）为奇函数”无疑是该课本题的一个简单改变.评注：通过该变式可以考查考生对函数奇偶性判断步骤的掌握情况和注意事项.变式2、可以利用函数f（x）、g（x）的奇偶性（1）注意到g（x）=是偶函数，那么当解析式中添加字母后若偶函数性质不变，则是否可以求出该变量的值呢？例如g（x）=是偶函数，则a=_____.解析：因为g（-x）==g（x），所以（1-a）·ex+（a-1）·e-x=0恒成立，则1-a=0，a-1=0，故a=1.又如若函数f（x）=+a·3-x是偶函数，且a>0，则a=_____.类似上述做法可得a2=1，因为a>0，故a=1.同样地，也可以考虑奇函数f（x）=相同的问题.例如若函数f（x）=是（2a-3，a2）上的奇函数，则a=_______.解析：因为若函数是奇函数，则定义域必关于原点对称，所以2a-3+a2=0，得a=1或a=-3；又f（0）==0，得a=±1.所以a=1.（2）注意到f（x）+g（x）=ex，若将结论f（x）为奇函数，g（x）为偶函数作为条件，能求出f（x）和g（x）的解析式吗？例如2011年高考湖北文科第3题：若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，则g（x）=（ ）A. ex-e-x B. （ex+e-x）C. （e-x-ex） D. （ex-e-x）解析：因为f（x）+g（x）=ex……①，所以f（-x）+g（-x）=e-x……②，又因为f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），所以②式化为f（x）-g（x）=e-x……③，于是联立①③，通过解方程组得f（x）=，g（x）=.评注：通过该变式可以考查考生对函数奇偶性应用之一：用方程组求函数解析式的理解，同时，通过该考题还可以知道，任意一个定义域关于原点对称的函数必定可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和.变式3、对证明结论开展研究性学习原题求证的（1）（2）（3）都可以成为研究性学习的载体，尤其是（2）和（3），因为（2）和（3）实际也是特殊情况.下面仅以（2）为例说明.使问题易于解决，可以如下设计：计算f（1）g（2）+f（2）g（1）和f（2）g（3）+f（3）g（2）的值，并据此提出一个推广加以证明.解析：f（1）g（2）+f（2）g（1）=·+·==f（3），f（2）g（3）+f（3）g（2）=·+·==f（5），一般的推广为f（m）g（n）+f（n）g（m）=f（m+n），证明只要通过计算即可.使问题具有挑战性，可以如下设计：5=2+3，请你推测f（5）能否用f（2）、 f（3）、 g（2）、 g（3）来表示；如果之前获得了一个结论，请你推测能否将其推广，并加以证明.解析：f（5）能否用f（2）、 f（3）、 g（2）、 g（3）来表示可以从幂的运算考虑，因为f（5）最高为5次，所以只能是2次、3次的乘积关系，从而猜测可能的情形为f（2）f（3）、f（2）g（3）、g（2） f（3）、g（2）g（3）之间的组合运算，接下去验算即可；有了结果，推广就不难了.增加以下的问题可以检测类比推广能力.还能得到其他类似结论吗？解析：可以是f（m）g（n）-f（n）g（m）=f（m-n）、g（m）g（n）+f（m）f（n）=g（m+n）、g（m）g（n）-f（m）f（n）=g（m-n）.如果学习了三角函数，则我们可以知道上述相关结论类似于正弦函数、余弦函数的两角和差公式，于是以可以设计如下问题：对于函数设f（x）=，g（x）=，能得到类似正弦函数或余弦函数的和差公式吗？若可以，则任写一个并证明.评注：通过该变式可以考查考生探索问题、研究问题的能力和类比学习能力.变式4、可以判断函数f（x）、g（x）的单调性容易判断f（x）是R上的增函数，但g（x）的单调性比较难判断.对于g（x）的单调性可以如下进行.解析： 设t=ex，所以t>0，则函数g（x）就化为y=（t+）（t>0）.接下去要求考生回忆函数y=ax+（a，b>0）单调性，如图1，函数y=ax+（a，b>0）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，所以，特别地，函数y=t+的单调性为：（0，1）区间上递减，（1，+∞）区间上递增，故由复合函数单调性法则知函数g（x）=是（-∞，0）上的减函数，（0，+∞）上的增函数.于是可得下面证明（仅以增函数为例）：任取x1，x2∈（0，+∞），且x11，>1，在学习了导数的内容后，也可以用导数方法求解.评注：通过该变式可以考查考生掌握单调性判断证明的基本方法.（作者单位：浙江绍兴县越崎中学）责任编校 徐国坚

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