[《课标》估算例题之难] 小学三年级估算题例题

　　本刊2012年第11期《教科书中的“大约”与估算》一文，从不同版本教科书中出现的“大约”一词的各种用法，分析了估算与通常的计算、简算以及近似计算的差异，并且归纳出了估算问题设计的基本原则。而在小学数学各个版本教材中有一类问题目标中含有“够不够”和“能不能”的估算问题，往往使教师在教学实践中备感困惑。因此，笔者试图对这一类问题的特征做一些分析。
　　一、问题的来源
　　如今小学数学课程与教学内容中，“够不够”的估算问题应当来源于2001年公布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的两个案例。如第14页的例5为：“如果公园的门票每张8元，某校组织97名同学去公园玩，带800元钱够不够？”第22页的例4为：“李阿姨想买2袋米（每袋35.4元）、14.8元的牛肉、6.7元的蔬菜和12.8元的鱼。李阿姨带了100元，够吗？”
　　2011年公布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》第87页的例26，把这一问题修改为如下的形式：“李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？”[1]这不仅沿袭了“够不够”的问题，还增加了“能不能”的问题。
　　此类问题难教、难学已经成为不争的事实。例如下面有关北京某小学三年级的期末试卷的案例。（见图1）
　　其中的问题叙述为：“四年级有45名女生参加合唱表演，请你给他们选择一套服装（两种服装单价分别为126元和109元），并估算一下需要多少钱？如果采购员带5500元钱，够吗？”
　　命题者的意图应当是让学生先依据两种服装的单价估计，5500元买单价109元的服装可能够。把109放大为110，45放大为50，计算出“110×50=5500（元）”，由于都是通过放大进行的估算，因此实际的花销一定比5500元少，说明“5500元买45套单价为109元的服装一定够”。
　　而图1中学生的解法是先准确计算出购买单价为109元的服装需要“109×45=4905（元）”，其实此时通过4905元与5500元的比较已经可以得到“够”的判断，学生还是多此一举地写出“4905≈4900”。显然与命题者所期望的思考方式不同。由此说明，表面看估算应当比精确计算简单、快捷，但学生在解决此类问题的过程中宁可使用精确计算的方法，也不愿意采用估算的方法，这究竟是什么原因呢？
　　二、估算过程之繁
　　下面以《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的例26为例，详细分析运用估算解决问题与精确计算的差异所在。题目中包含了两个问题，第一个是“100元够不够买小鱼”，第二个是“100元能不能买大鱼”，对于第一个问题，可以按照要素分解的方式分析其思考过程。
　　无论是否使用估算，首先要知道“够不够”的问题实际就是比较“30.4×2+19.4+15.8”的计算结果与“100”的大小。如果前者大于100，就可以得到“不够”的结论；如果小于或等于100，就可以得到“够”的结论。假如不使用估算，接下来只需要直接计算出“30.4×2+19.4+15.8”的结果为96，明显看出10096，立刻就可以得到“够”的结论。如果使用估算，要思考的内容就烦琐得多了。
　　首先要考虑对于“30.4×2+19.4+15.8”中的30.4、19.4和15.8这三个数，分别应当放大还是缩小？这个问题的答案并不容易得到。相当于不是通过计算直接比较两个数的大小，而是要寻找一个中间数间接地比较两个数的大小。这个中间数（不妨用字母M表示）所应当符合的条件是受问题的结论制约的。
　　如果结论是“够”，也就是“100”大于或等于“30.4×2+19.4+15.8”的结果，那么这个中间数M就应当大于“30.4×2+19.4+15.8”的结果，并且小于或等于100。也就是中间数M要符合如下的不等式：
　　30.4×2+19.4+15.8M≥100
　　这时寻找中间数M，就需要对“30.4×2+19.4+15.8”进行缩小。这就说明，不同的结论使得中间数M与要比较的两个数之间的关系是不一样的。因此寻找M之前，也就是要在决定应当对“30.4×2+19.4+15.8”进行放大还是缩小之前，必须先知道问题的结论是“够”还是“不够”。这里实际上就出现了一个“因果倒置”的矛盾现象，解决问题的自然过程是通过放大或缩小“30.4×2+19.4+15.8”比较其与100的大小，而选择是放大还是缩小，又需要依据“30.4×2+19.4+15.8”与100的大小关系来判断。因此，解决此类问题的思路实际上是先猜测结论，然后进行证明。不要说是小学生，就是经验丰富的数学家遇到这样的问题也会皱眉头。
　　如果猜测结论是“够”，那么可以确定应当对“30.4×2+19.4+15.8”进行放大。接下来需要思考：要将30.4、19.4和15.8这三个数分别放大为哪几个数，无论是放大还是缩小，实际上就是对参与运算的数进行变化，可以把这个变化了的数叫作相对于原数的“近似数”，这样的近似数至少应当符合两个条件。第一是能够简化计算，为了简化计算，自然的想法是就近将小数变为整数，最好是整十数。第二是变化的方向和幅度不能违背或超越解决问题的需要。
　　对于上题中30.4、19.4和15.8这三个数，分别放大为31、20和16，那么“30.4×2+19.4+15.8”的计算就变为了“31×2+20+16=98”的计算，显然简化了计算。
　　另外，由于30.4×2+19.4+15.8M≥100，证明了“30.4×2+19.4+25.2>100”，从而得到“100元不够买大鱼”的结论。其思考过程与精确计算的思考过程的对比可以从表2中明显看出。
　　以上对比分析表明，运用估算的方法解决问题，从算式的计算程序来看，其强度和难度都有所下降。但从解决问题整体思维的角度看，其思维含量却大大增加了。因此学生在解决问题的过程中，宁可使用精确计算，也不愿意去使用“烦琐”的估算。
　　三、难在哪里
　　导致学生学习困难的内容通常有两个特点，第一是学生不熟悉，也就是学习内容与学生熟悉的知识和经验缺少联系。估算这一内容通常是在学生已经熟悉了精确计算的基础上开始学习的，在遇到一个需要解决的问题的时候，学生自然而然地会首先采用已经熟悉的精确计算。第二个特点是学习内容的复杂性，也就是与之相关联的因素较多。[2]相对于精确计算，估算就具有这种复杂性的特点。
　　估算是人们追求计算简捷的产物，这种简捷一方面会带来算法的个性化与多样化，同时又需要建立在相应的运算能力基础之上。比如前面“100元够不够买小鱼”的问题中，从追求简捷的角度看，算式“30.4×2+19.4+15.8”可以有多种变化形式，比如“30×2+19+15”或“30×2+20+20”等等。如果单纯考虑计算的简捷性，应当分别把30.4、19.4和15.8变为就近的整十数，也就是把算式“30.4×2+19.4+15.8”变为“30×2+20+20”进行计算。
　　但这样做并不能明确这个算式的结果相对于原来算式是变大了还是变小了，自然也就无法达成判断“够不够”的问题目标。由此看出，估算策略的选择是与问题目标的达成直接相关联的。正是这种估算策略的多样性及其与问题目标的依赖性构成了估算的复杂性特征，这种复杂性无疑是导致学生学习困难的重要原因。下面以人民教育出版社出版的数学教科书四年级上册中的一个问题为例进一步说明这一点。（见图2）
　　问题：四年级同学去秋游。每套车票和门票49元，一共需要104套票。应该准备多少钱买票？（见图2）
　　如果采用精确计算，只需要计算：49×104=5096（元），就可以达到“需要准备5096元”的问题目标。
　　如果采用估算，为了达到问题目标就需要回答两个问题，第一是“准备多少元钱”，第二是“这些钱够不够”。教科书中给出的一种算法为：
　　49≈50
　　104≈110
　　50×110=5500
　　由此得到“应该准备5500元”的结论。由于估算的过程是将“49”和“104”分别放大为“50”和“110”，所以利用不等式：49×104104，所以“50×100=5000”一定比原式“49×104”小，因此得到结论“5000元不够”。这样的思考过程显然要比直接采用精确计算复杂得多了。
　　教科书中最后的问题是要比较两种估算过程哪一种好一些。（见图2）命题者的意思或许是认为前一种估算达到了问题目标，所以比后一种估算要好。事实上，估算的方法是多样的，后一种估算依据的是“盈亏互补（Compensation）”策略，[4]也就是对算式中参与运算的数进行恰当的增减，进而使得计算变得简捷。这一估算策略也被经常采用，而且是有效的。比如前面“100元够不够买小鱼”的问题中，对“30.4×2+19.4+15.8”就可以按“盈亏互补策略”进行估算：
　　“30.4”缩小为“30”，减少了“0.4”，算式结果就会减少“0.8”；
　　“19.4”扩大为“20”，增加了“0.6”，算式结果也增加了“0.6”；
　　“15.8”扩大为“20”，增加了“4.2”，算式结果也增加了“4.2”。
　　由于增加的“0.6”与“4.2”的和是“4.8”，大于减少的“0.8”，所以改变后的算式的结果为：30×2+20+20=100，一定大于原算式的结果。因此就得到“100元够买小鱼”的结论。
　　综上，相对于精确计算来说，估算的复杂性体现于估算方法的多样性以及针对问题目标的选择性方面。因此，估算教学仅把重点放在估算方法或策略方面是不够的。应当把估算的过程看作是一个系统，这一系统体现的是计算的简捷性、方法的多样性以及针对问题目标的选择性三方面的互动。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京师范大学出版社，2011：87.
　　[2]郜舒竹. 为何探究不出来——兼谈难点的分析方法[J]. 人民教育， 2009（4）.
　　[3]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心. 义务教育课程标准实验教科书四年级上册[M]. 人民教育出版社， 2004：60.
　　[4]郜舒竹. 估算方法知多少[J]. 教学月刊， 2012（10）.
　　（首都师范大学初等教育学院 100048）

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