浅谈导数在不等式问题中的应用_利用导数研究不等式问题

　　不等式是高中数学中的基本问题，它也是高考必考查的一类问题，通常是不等式的解法、含有参数的不等式、不等式的证明等。它可以和函数、数列等知识进行综合考查，考查函数思想、分类讨论思想、可以很好的考查考生的综合分析和解决问题的能力。本文就高考中和平时练习中出现的一些题型，兹举几例进行说明。
　　一、含参数不等式的问题
　　（一）分离参数法处理含参数不等式
　　例1. 已知函数图像上点处的切线与直线平行（其中
　　），
　　（1）求函数的解析式；
　　（2）对一切恒成立，求实数的取值范围.
　　分析：（1）， 解得，于是
　　（2）不等式等价变形为对任意的都成立，构造函数，即
　　解：
　　在上单调递减；在和上单调递增
　　或，又，
　　于是，实数的取值范围
　　【点评】含参数不等式的恒成立问题，通常用分离参数法，然后构造函数化归为该函数的最值问题。一般地；
　　；
　　（二）分离参数后所构造的函数不易求最值
　　例2. 设函数
　　（1），求的单调区间；（2）若当时求的取值范围
　　分析：（1），
　　在上单调递减；在上单调递增
　　（2）当时，分离参数得，令，尝试求导数后，不易求在最小值，此时应立即转而直接求在最值。
　　解：（2），由（1）知当且仅当取等号
　　故
　　当时，恒成立，在上单调递增
　　，于是符合题意。
　　当时，时，
　　从而
　　故，于是在上单调递减，而
　　，不合题意
　　综上所述，若当时，的取值范围为
　　【点评】含参数不等式的恒成立问题通常分离参数优先，但有些问题分离后所构造的函数很难求最值，在这样的情形下就直接求最值。此例中非常巧妙的利用了第（1）问中的这一结论，找到了分类讨论的标准。此例还可以二次求导得，易得时，有恒成立，后面处理的过程一样，读者可以尝试。
　　（三）利用必要条件，缩小参数范围
　　例3.设函数
　　（1）求的单调区间；
　　（2）求所有实数，使对恒成立.
　　分析： （1）利用导数易求得 在在上单调递增，上单调递减；
　　（2）即是求在上最值，可以分成三种情况进行讨论，但是运算的量比较大。而当，有 恒成立，，即，此时即发现由（1）知在单调递增，
　　于是有解得
　　【点评】此例本是考查利用导数求函数在闭区间上的最值，若是用分离参数法或直接求最值运算起来都比较烦，但若巧妙利用恒成立的必要条件，把参数的取值范围缩小到，使得函数在单调函数，从而避免了分类讨论和繁琐的运算，这样的题型是值得积累的。
　　二、不等式的证明
　　（一）直接构造函数
　　例4.设函数，曲线过，且在点处的切线与直线平行
　　（1）求的值；（2）求证：.
　　分析：（1） 易求得，即
　　证明：（2）
　　令，
　　则
　　在在上单调递增，上单调递减；
　　，故不等式得证。
　　【点评】不等式的证明实质上化归为不等式的恒成立问题，然后把恒成立问题转化问函数的最值问题，此例中的单调性的判断只需要对求导数并由的正负即可得到函数的单调性，进而求得最值。
　　（二）巧妙转化不等式，构造合理函数
　　例5. 设函数.
　　（1）求的单调区间；
　　（2）证明：当时，.
　　分析：（1）
　　当时，在上单调递增，没有减区间
　　当时解得；解得
　　的增区间为，减区间为
　　（2）要证当时，.
　　即证，即证，
　　易知，只要证函数在上单调递减
　　证明：
　　可以发现的分子上恰好是在时的特殊情形
　　由（1）可知时，减区间为，因此，
　　而，故在恒成立，即在上单调递减
　　于是得证，从而当时，.得证
　　【点评】此例证明的关键在于转化，由于它是二元不等式，但基本不等式不好证，故从幂的形式上看可考虑转化为对数式，再做适当变形后转化为对称式，从而找到构造合理函数，再利用导数研究函数的单调性。
　　（三）导数在研究数列与不等式中的应用
　　例6.已知函数在处取得极值
　　（1）求实数的值
　　（2）求证：
　　分析：（1）不难求得
　　（2）此例的第二问从不等式的形式上看是一个累加的形式，故联想数列型
　　左边，而右边关键在于如何列项，变换，由此可以猜想数列的和，而数列的前项和含有，于是只要能证不等式即可，
　　构造函数
　　证明：在上恒成立，在单调递减
　　，即
　　故，
　　即不等式得证
　　【点评】数列与不等式知识的交汇问题是高考中的热点问题，数列中的不等式问题常用数学归纳法或放缩法等方法证明，但数列中含有指对数函数、三角函数时，往往要借助导数这个工具解决。化归这类不等式的难点在于根据不等式的特征使其和合理的函数联系起来。

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