【圆锥曲线客观题的解答】圆锥曲线的所有公式

　　圆锥曲线客观题历来是高考的热点，是考试的“常客”，且其解答的方法又具有一定的“挑战性”，如果用常规方法解答，则通常会比较费时而且计算量较大，从而容易出错．因此，灵活掌握好圆锥曲线客观题的解答方法就显得非常重要，下面，我们通过具体实例的解决来谈谈一些较好的解决方法，供复习参考．
　　例1． 如图1，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线的方程是（ ）
　　A． y2＝x B． y2＝3x C． y2＝x D． y2＝９x
　　解析：本题如果通过设直线方程，然后联立直线与抛物线方程利用长度之间关系去解答，也是可以的，但计算量相当大，其实本题完全可以借助抛物线的定义和平面图形的性质巧妙解答．
　　如图1，过A、B作准线的垂线，垂足分别为E、D，准线与对称轴的交点为H．
　　思路1：由抛物线的定义知BＤ＝BF，所以在Rt△BDC中，BC＝2BD， 故∠BCD=30°，所以∠AFx=60°.又AF=3，所以A（+，）在抛物线上，从而有=2p（+），解得p=或p=-（舍去），故可得抛物线方程为y2＝3x．
　　思路2：AE＝AF=3，在Rt△AEC中，∠ACE=30°，所以AC＝6，从而知F是AC的中点，所以HF=AE=，即p=，故抛物线方程为y2＝3x．
　　评注：①无论是思路1还是思路2，都是巧妙利用了抛物线的定义和直角三角形的有关性质；②本题中的条件BC=2BF也可以等价地表示为=2．
　　下面请利用圆锥曲线的定义以及平面几何图形的性质解决以下几个习题．
　　练习1． 过椭圆+=1（a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
　　A． B． C． D．
　　解析：在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=60°，F1F2=2c，所以PF1==，PF2==，由椭圆定义得2a=+，所以离心率e==，故选B．
　　练习2． 设F1和F2为双曲线-=1（a>0，b>０）的两个焦点，若F1，F2，Ｐ（0，２b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
　　A． B． 2 C． D． 3
　　解析：如图3，因为ＯＰ＝F1F2，所以２b=×2c，4b2=3c2，则离心率e==2，故选B．
　　练习3． P是双曲线-=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和圆（x-5）2+y2=1上的点，则PM-PN的最大值是 ．
　　解析：要使PM-PN取到最大值，只需PM取到最大值和PN取到最小值．一旦取定双曲线右支上一个点P，则PM最大值和PN最小值就成为是圆上点到一个定点的最值问题．如图4，由圆的性质知，PM最大值就是经过圆心F1（-5，0）的线段PA，而PN最小值就是经过圆心F2（5，0）的线段PB，而两个圆的圆心F1（-5，0）、F2（5，0）恰是双曲线的两个焦点，所以结合双曲线的定义知PM-PN的最大值是PA-PB=（PF1＋２）－（PF２－１）＝PF1－PF２＋３＝６＋３＝９．
　　练习4． 有一矩形纸片ＡＢＣＤ，按图5所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点Ｂ都落在边ＡＤ上，将Ｂ的落点记为Ｂ′，其中ＥＦ为折痕，点Ｆ也可落在边ＣＤ上，过Ｂ′作Ｂ′Ｈ∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为（ ）
　　A． 圆的一部分 B． 椭圆的一部分
　　C． 双曲线的一部分 D． 抛物线的一部分
　　解析：因为点B和点Ｂ′关于折痕EF对称，所以ＢH=Ｂ′H，则点H满足到定点B的距离等于到定直线AD的距离，由抛物线的定义知，点H的轨迹为抛物线的一部分．
　　例2． 如图6，已知A、B、C、D分别为过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线和圆（x-1）2+y2=1的交点，则AB・CD等于 ．
　　解析：客观题的最大特点是只要结果不需要过程，所以如果能用方法比较快地求出答案就可以了，而不用管解答是否严密，是否完整．例如本题让我们求AB・CD的值，可想而知，不管直线的位置如何，AB・CD的值肯定是不会变的，所以，我们可以考虑最特殊的情况：直线垂直于对称轴，此时，A（1，-2）、B（1，-1）、C（1，1）、D（1，2），所以AB・CD=1×1=1．
　　评注：一般在变化中求定值、求最值可以用特殊法思想解答．
　　通过上题的解答我们可以看出，特殊法应该是解答客观题非常有效的好方法．下面，我们用特殊法来解答下列习题．
　　练习5． 过抛物线y2=ax（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则+等于（ ）
　　A． 2a B． C． ４a D．
　　解析：与例2一样，既然让我们求+的值，说明该值不会因为直线位置的改变而改变，所以可以考虑直线垂直x轴的情况，此时，p=q=，所以+=．
　　练习6．（1）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若Ｐ（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为 .
　　（2）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△AＢＦ的面积等于 ．
　　解析：无论是（1）和（2）都可以考虑满足题意的一种特殊情况A（0，0）和B（4，4），所以抛物线C的方程为y2=4x，△AＢＦ的面积等于×1×2=1．
　　解题中用到的方法并不一定是单一的，也并不一定是唯一的，需要具体问题具体对待．例如例2也可以用抛物线定义解答：设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB・CD=（AF－１）・（DF－１）=x1x2，而我们知道经过抛物线焦点的直线与抛物线相交得到的两个交点的横坐标的乘积等于定值=1．
　　综上所述，解答圆锥曲线客观题完全可以“剑走偏锋”，不必拘泥于基本解题过程．
　　（作者单位：浙江绍兴县越崎中学）
　　 责任编校 徐国坚
　　

推荐访问:圆锥曲线 客观 解答