【融会贯通，举一反三】融会贯通与举一反三

　　1 问题　　2012年南通市第二次模拟考试第19题是这样的：　　已知函数f（x）=x+sinx.　　（1） 略.　　（2） 求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在0，π2上恒成立.
　　2 解法探究
　　（1） 命题组解法摘录：
　　依题意得，设Q（x）=gx-f（x）=axcosx-x-sinx，x∈
　　0，π2
　　1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立；
　　2°当a>0时，Q′（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，
　　① 0　　② a>2时，注意到当x∈0，π2时，x≥sinx，于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
　　必存在x0∈0，π2，使得当x∈（0，x0）时，有Q（x0）>0，不能使Q（x）≤0恒成立.
　　综上所述，实数a的取值范围为a≤2.
　　（2） 可能是思维定势， 命题组的解法在学生的试卷很难看见， 大部分学生选择分离参数， 然后对新的函数进行求导， 但因为导数过于复杂， 所以几乎很难进行下去. 这时， 本卷的填空题12题引起了我的注意.
　　问题 若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈0，π2都成立，则a2-a1的最小值为.
　　这道题考查导数在研究函数上的应用、三角函数的图象与性质， 强调割线逼近切线的思想方法. 由图形可知，当过原点的直线过点π2，1时，a1取得最大值2π；当过原点的直线为点（0，0）处的切线时，a2取得最小值1.所以，a2-a1最小值为1-2π.
　　想到在19题中， 既然把参数完全分离没法进行下去， 那分离一部分呢？ 也保留一边是直线形式， 不就正好解决了参数完全分离后函数过于复杂的问题.
　　解法2
　　所以，y=h（x）在0，π2上单调递增.
　　h（0）=0， x→π2时，h（x）→+∞
　　所以，由图像可知，y=ax为y=h（x）过（0，0）点的切线时，a取得最大值2.
　　综上所述，实数a的取值范围为a≤2.
　　（3） 又注意到在命题组的解法中，他提到了“注意到当x∈0，π2时，x≥sinx”， 于是又想到能不能在解题一开始就用上这个结论呢？这样是不是也可是使这个复杂的问题简单化呢？
　　3 思考与启示
　　这道题给我的感受是， 在解决这类问题时， 我们要多思考， 避免思维定势. 在习惯性参数完全分离， 利用一个函数不能解决的时候， 要及时调整解题方向，可以通过整理方程或不等式的形式， 转化为两个熟悉的简单的函数， 同时借助图像来解决问题. 在平时的解题过程中，要学会融会贯通，举一反三.

推荐访问:融会贯通 举一反三