椭圆面积公式 [用物理方法证明椭圆的面积公式]

　　摘 要：介绍如何运用行星绕太阳运动的规律证明椭圆的面积公式。　　关键词：开普勒定律；椭圆的面积公式；物理方法　　在数学中有很多方法可以推导出椭圆的面积计算公式，比如，仿射变换法、二重定积分法，其中二重定积分法已超出高中生的能力。本文给出从物理角度证明椭圆的面积表示式的计算过程，切入点是开普勒第二定律，再将开普勒第二、第三定律与机械能守恒定律结合起来，很自然地得出了正确结果。笔者的教学实践说明，只要事先给出有关预备知识（引力势能表示式及其物理意义），再对物理推理思路稍作提示，大部分学生都能完成证明过程。这不仅让学生拥有了理论探究的成就感，还使学生深深地体会到数学与物理学之间的紧密联系。
　　众所周知，开普勒行星运动三定律是开普勒仔细分析研究大量天文观测数据后得出的著名物理定律。第一定律即说明行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，第二定律给出了行星运行速率与行星太阳距离的关系，第三定律揭示了行星轨道的几何尺寸与行星公转周期的关系，三个定律将时空、物质和运动完美地融合在一起。
　　下图所示为行星绕太阳运动的椭圆轨道，太阳静止不动位于该轨道的一个焦点。开普勒第二定律告诉我们，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等。这提示我们，如果能算出行星的公转周期（绕太阳一圈的时间）以及行星太阳连线在单位时间内扫过的面积，那么椭圆轨道包围的面积就等于这两个量的乘积。为方便先给出下文涉及的：①椭圆轨道的几何参量及其表示符号：焦距c，半长轴a，半短轴b，近日点距离r1，远日点距离r2，面积S；②有关物理量及其表示符号：万有引力常量G，太阳质量M，行星质量m，行星绕太阳的公转周期T，行星经过近日点、远日点时的速率v1、v2，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积λ（也叫掠面速度）。具体思路和计算过程如下：
　　（1）设法找出用椭圆半长轴表示的行星公转周期公式。据开普勒第三定律可知，各行星轨道的半长轴的立方与行星公转周期的平方成正比，即a13∶T12=a23∶T22=a33∶T32=…=k，比值k是一个仅与太阳质量有关的常数；若某颗行星的轨道是圆，则公式中相应的a表示该圆轨道的半径。要得到周期公式就必须求出k值，该值可利用圆轨道方便地求到。设某一行星m0的轨道是半径为R0的圆，其公转周期为T0，该行星绕太阳作匀速圆周运动所需向心力由行星太阳间的万有引力提供，所以有
　　开普勒第三定律告诉我们，k值对所有行星都相等，所以有：
　　由上式解得轨道半长轴等于a的行星公转周期的计算式：
　　该式显示行星公转周期与行星的轨道大小以及太阳质量大小有关。
　　（作者单位 江西省抚州市第一中学）

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