二阶双共振离散边值问题解的多重性|四阶离散

　　摘 要：本文利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论、Morse理论以及临界群的计算研究了二阶双共振离散边值问题(1.1)解的多重性。其中，，，是向前差分算子，在无穷远点满足双共振条件。
　　 （1.1）
　　关键词：双共振、变分方法、临界点理论、Morse理论、临界群
　　[中图分类号]：O177.91 [文献标识码]：A
　　[文章编号]：1002-2139(2012)-03-0078-01
　　1、引言
　　本文在一定假设条件下证明了问题（1.1）至少存在三个非平凡解。与问题（1.1）对应的线性特征值问题的特征值，且。而对应的特征向量，其中。记，，，。记 。在Hilbert空间中，，范数。全文假设：
　　()对一致成立，并且存在，使得。
　　() 如果当时，，那么存在常数使得
　　 ，，。
　　() 如果当时，，那么存在常数，使得
　　 ，，。
　　在上定义泛函，
　　问题（1.1）的解等价于泛函J的临界点。
　　引理1.1[1-2] 如果f满足条件()―()，那么。
　　引理1.2[1-2] 假设函数。如果当时，，并且。那么泛函满足P.S条件，其中
　　2、主要结果及证明
　　定理2.1.如果条件()―()成立，并且，那么问题（1.1）至少存在三个非平凡解，其中一个正解，一个负解。
　　证明：由于，，所以存在，当时，有。
　　而当时有，。 因此至少存在一个，使得，，所以是J的一个局部极小值点。于是。根据引理1.1有。如果仅有一个临界点，则Morse型数，Betti数,则由及得到矛盾，所以至少还有一个临界点，且。令
　　，，。则的临界点是两点边值问题
　　 （2.1）
　　的解，其中，并且。由引理1.2知满足P.S条件。由知当时，。于是当时， 从而当时，。另一方面，由知存在，当时，，并且，再由的连续性知存在常数，使得对一切成立。从而存在常数，使得，。所以对于有，, 所以,。从而根据山路引理[3]，有一个临界点。所以是问题（2.1）的解, 所以是的一个正解，所以也是的一个正解。于是。同理可得有一个非平凡临界点，并且满足条件。而，，所以，。因此至少有三个非平凡临界点。
　　参考文献：
　　[1]、J.B.Su,LG.Zhao.Multiple solutions for semilinear elliptic boundary value pro -blems with double resonance. Journal of Mathematical Analysis and Applications, J. Math. Anal. Appl.2009,354:147�158.
　　[2]、J.B.Su,LG.Zhao,Semilinear elliptic equations with double resonance between two consecutive eigenvalues.Nonlinear Anal.2002,48:881�895.
　　[3]、Su Jiabao,Tang Chunlei. Multiplicity results for semilinear elliptic equations with resonance at higher eigenvalues. Nonlinear Analysis.2001,44:311-321.

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