黄金分割【基于黄金分割二分法鞍点线抽样的可靠性分析】

　　摘 要：为解决非正态变量空间中复杂多变的隐式非线性功能函数的可靠性问题，融合鞍点估计与线抽样法的优点，结合二分法的特点与黄金分割法的求解效率，提出基于黄金分割二分法的鞍点线抽样法.在标准化变量空间中，沿重要线抽样方向，利用黄金分割点的二分法快速找到各样本点对应于功能函数的零点，从而可按照鞍点估计的思想将结构的失效概率转化为一系列线性功能函数失效概率的算术平均值.研究表明：基于黄金分割二分法的鞍点线抽样法在求解非正态变量空间中复杂多变的隐式非线性功能函数的结构可靠性时不仅精度高，而且速度快.
　　关键词：鞍点估计；线抽样法；黄金分割法；二分法；可靠性
　　中图分类号：TH123.3 文献标识码：AReliability Analysis Based on Saddlepoint
　　Approximationline Sampling Method of Golden Section Dichotomy
　　对于实际工程中非正态随机变量的结构可靠性问题，传统Monte Carlo数字模拟法抽样效率低，对于小概率问题，其计算量很难为工程所接受[1-2].传统线抽样法[3]，通过n-1维空间的随机抽样和一维插值，将非线性功能函数的失效概率转换成一系列线性功能函数失效概率的算术平均值[4]，从而可在高维与小概率情况下高效估计结构的可靠性，但线抽样的整个分析过程是在标准正态空间内完成的，不可避免地会使其精度受到非正态变量向标准正态变量这一非线性转换的影响，当功能函数出现非单调性时，甚至还使线抽样得出错误的结果[5].鞍点估计[6]采用随机变量的累积生成函数来估计结构的响应功能函数的累积分布函数或失效概率，它不受基本变量分布类型的限制，并适用于非正态变量的情况，却要求功能函数是线性的.为了满足这一要求，文献[7-9]分别将非线性功能函数在均值点与设计点处用Taylor公式展开成近似的线性表达式，但对非线性程度很大或非线性程度不大而随机变量的变异系数较大的问题，这一处理方式很难得到满足精度要求的近似解，且它须输出功能函数的梯度函数，对隐式函数来说，并非易事.利用鞍点估计对基本变量分布形式无限制与线抽样法适应于非线性功能函数的优点，文献[6]提出了鞍点线抽样法，实现了两者的优势互补，有效地解决了一般功能函数的可靠性问题，但对于复杂多变的、特别是线抽样方向为多峰的功能函数，其三点二次插值法[10，6]在求线抽样方向功能函数的零点与累计生成函数微分方程的鞍点时均束手无策，为此，文献[11]采用线性插值的方法，但它仍需得到功能函数的梯度函数，同样不适合分析实际工程中许多采用近似方法得到的隐式功能函数.因二分法无需事先输出功能函数的梯度函数，不仅适合于求解隐式的功能函数，还能有效解决多峰函数的问题.借鉴黄金分割法的求解效率，本文提出基于黄金分割二分法的鞍点线抽样法，以进一步解决实际工程中复杂多变的隐式非线性功能函数的可靠性问题.湖南大学学报（自然科学版）2012年第11期张干清等：基于黄金分割二分法鞍点线抽样的可靠性分析1 基于鞍点估计的可靠性分析
　　鞍点概率估计的基本思想是[6]：利用随机变量的线性功能函数的累积生成函数（Cumulative Generating Function，CGF）的性质和傅立叶反变换来求得功能函数的概率密度函数基于鞍点的指数幂级数表达式.

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