无穷小数列在求数列极限中的应用_无穷小与数列极限的关系

　　【摘要】 本文突破了以往对数列极限的求法，给出了无穷小数列的概念以及相关命题和推论，并加以讨论，结合几个典型的例子，介绍利用无穷小数列进行“变量”替换在求数列极限中的一些巧妙应用，本文还附带了四个例题举例说明这一方法. 一方面加深我们对无穷小数列的理解，另一方面可丰富求数列极限的方法.
　　【关键词】 无穷小数列 变量替换 数列极限
　　【中图分类号】 G423 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）08（b）-0138-02
　　1 引言
　　求数列的极限，在数学学习中是非常重要的一部分内容. 同时极限又是《高等数学》教学的重要环节.极限论是分析学的基础，极限问题也是分析学的困难问题之一.在大家学习数学分析的研究过程中，极限问题也是难于理解并且很不容易掌握的概念之一.对于一些复杂极限，直接利用极限的定义来求，就会显得非常得困难.仅仅依靠定义不仅计算量大，而且不一定能求出结果.因此很多学生在学习数列极限的时候都感觉到枯燥无味，甚至产生厌烦的情绪.在多年的数学教学中，我也不断地摸索着新的、且更加适合学生的学习方法，使求数列极限变得简单、实用、易于掌握，使关于求数列极限的教学更加科学、丰富.
　　为了解决求极限的问题，已经有不少学者曾经探讨了计算极限的方法.目前，求极限的方法也是众多的，例如：利用定积分求极限、利用幂级数求极限、利用级数收敛性判断极限的存在、利用泰勒公式求极限、利用微分中值定理求极限等.但利用无穷小数列求数列极限却是一种较为少见且实用的方法.在通常的数学分析教材中有关这种方法的介绍甚少.许多人对此颇感陌生.本文将结合几个典型的例子，介绍利用无穷小数列进行“变量”替换在求数列极限中的一些巧妙应用，一方面加深我们对无穷小数列的理解，另一方面，又可以丰富求数列极限的方法.
　　2 主要结果
　　下面，为了便于讨论，我们先引入一些相关的结论，具体叙述如下：
　　定义1 若数列收敛，且，则称数列为无穷小数列.
　　引理1 数列收敛于的充要条件是数列为无穷小数列.
　　注1：上述引理说明，若，则可作“变量”替换：令，其中是一无穷小数列.又根据上述无穷小数列的定义，不难证明如下几个命题成立.
　　定理1 若数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列，反之亦成立.
　　证明 因为为无穷小数列，所以.所以﹥，，当﹥时，﹤.从而.故也为无穷小数列.
　　反之，如果为无穷小数列，则.所以﹥，，当﹥时，﹤.从而.故为无穷小数列.
　　定理2 若数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列.
　　证明 因为为无穷小数列，所以﹥，，当﹥时，﹤.
　　所以当﹥时，
　　﹤﹤，
　　其中，.因为.所以﹥，，当﹥时，﹤.取.则当﹥时，有﹤.
　　于是.故数列为无穷小数列.
　　注2：在定理2中，由等式并不能推出，即它的逆命题是不成立的.例如：不收敛，但.
　　推论1 设数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列.
　　证明 由上述定理1和定理2即可得到上述推论成立.
　　我们可以利用无穷小数列进行“变量”替换在求数列极限中进行具体应用，用这种方法求某类数列的极限是极为方便的.
　　定理3 若，则.
　　证法一：由，作“变量”替换，令，其中为无穷小数列.
　　则根据上述定理2，有
　　证法二：因为，所以﹥，，当﹥时，﹤.于是，当﹥时，有
　　﹤﹤，
　　其中，.又因为，所以对于上述﹥，，当﹥时， ﹤.取.则当﹥时，有
　　﹤.故.
　　注3：显然定理2是定理3中当时的一种特殊情况；类似于定理2，对于定理3中的结论，其逆命题亦不成立；应用定理3中的结论，我们可以解决某类数列的极限问题.
　　定理4 若，，则
　　.
　　证明 由，，作“变量”替换，分别令
　　，，
　　其中，，为无穷小数列，故
　　.（1）
　　因为，，所以是有界数列，即，从而结合上述推论1有
　　.（2）
　　再依据定理1，结合（2）式便有.
　　又由定理2可知，，
　　在（1）式中，令得.
　　推论2 设数列，为无穷小数列，则数列
　　也为无穷小数列.
　　3 应用
　　由前面的内容，我们可以从中得到相应的启示，本节将给出定理1，定理2和定理3的若干应用举例.更为深刻地体会到，利用无穷小数列来求数列极限的简捷及实用之处.
　　例1：已知，求极限.
　　解 由，作“变量”替换，令，则，故有
　　.
　　而，
　　依据上述推论1和定理1知
　　，
　　从而=
　　.
　　例2：设，求极限.
　　解： 由，作“变量”替换，令，其中为无穷小数列，则有，，...，，
　　从而.
　　再依据上述定理2便有
　　.
　　例3：求下列极限：
　　（1）；（2）；
　　（3）.
　　解：（1）因为，所以由定理3知.
　　（2）因为，所以由定理3.
　　（3）因为，
　　所以由和定理3知
　　.
　　例4：证明：若﹥，，且为无穷小数列，则
　　证明 因为为无穷小数列，所以.而，有.
　　由定理3知，.所以.
　　由以上几道例题，我们很容易地看到，利用无穷小数列来求数列的极限所给我们带来了的很多的方便之处.利用无穷小数列进行“变量”替换，能够减少很多不必要的、繁琐的计算及运算.这些巧妙应用，一方面能够加深我们对无穷小数列的理解，另一方面，又可以丰富求数列极限的方法.因此，利用无穷小数列来求数列极限这个教学例子，不仅可以丰富学生的学习及解题方法，同时，还能利用此例子来激发、激励学生不停探索新知的信心和决心.激励学生在方法众多的问题中，能够不拘泥原有方法，去寻求更为简便、更符合所给题目要求的新的解题方法.另外，还能以此激励学生得阅读与自学能力，通过大量的阅读而从中搜取自己所需要的知识，从而进一步提高学生的自学能力.
　　总之，极限思想是许多科学领域的重要思想之一，极限的基本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，有关级数、一元微积分学、二元微积分学和多元微积分学等所有概念及一些基本思想均是利用极限的思想提出来的。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要.能更多更好地掌握求极限的方法，无论对我们学习数学，还是在课堂上更好地为学生讲解，找到真正适合学生学习的方法，提高学生的学习兴趣都是非常重要且有意义的.
　　参考文献
　　[1] 吴振奎.高等数学解题方法和技巧[M].沈阳：辽宁教育出版社，1988.11.
　　[2] 姜东平.数学分析教程教程（上册）[M].南京：南京大学出版社，1990.4.

推荐访问:数列 无穷小 极限