数感的培养 [抓住“三个结合”,,,,,,培养学生数感]

　　数感就是对数与数之间关系的一种感悟，即对数的一种深入理解，然后内化成一种对数的驾驭能力。这种能力包括对日常生活中数与运算有敏锐的感受力，有意识地从数学的角度去观察、解释和表示客观事物的数量关系、数据特征和空间形式，善于捕捉一般问题中潜在的数学特征；能在具体的情境中把握数的相对大小关系，能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释；能用数来表达和交流信息，在解决问题时选择适当的方法。据此，笔者从数境结合、数形结合、算用结合三个方面对学生数感形成的策略进行了初步探索。
　　一、数境结合，在活动中体验数感
　　本文提出的“数境结合”是指数的概念教学和情境紧密结合，引导学生联系身边与数的概念相关联的具体有趣的事物，通过观察、操作、交流等丰富的活动，感受数的意义，体会数在日常生活交流活动中的作用，在学生头脑中沿着“具体—表象—抽象”的认识过程逐步建构数的概念，使学生从中获得初步的数感体验。
　　（一）数的概念教学与具体实物相结合
　　数的概念具有较强的抽象性，数的概念教学如果不依附于具体形象的实物，教学活动便显得枯燥乏味。因此，在数的概念教学中，教师可以把数与学生身边的具体实物相结合，让学生通过具体实物来认识数，帮助学生建立起实物与数的对应观念，形成鲜明的计数表象，体会数的意义，理解概念的本质属性，从而诱发数感。
　　例如，在教学“11～20各数的认识”一课时，教师可以让 学生围绕中心问题“这些小棒怎样摆放让别人也很快地看出是12根”进行积极的探究，然后汇报：①1根1根地摆；②2根2根地摆；③5根5根地摆还多2根；④10根一捆，再摆2根……
　　师：你认为哪一种摆法能很快地看出是12根？为什么？（学生各抒己见，意见很不一致，根本无法体会10根扎成一捆的优越性）
　　教师不作任何解释，引导学生一起看课件。
　　第一幅（1根1根地摆）：| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
　　（画面出现约2秒钟后马上消失）
　　师：刚才画面上出现的是几根小棒？（学生无奈地摇摇头）
　　第二幅（2根2根地摆）：|| || || || || || || || || || | （方法同上）
　　第三幅（10根扎成一捆） ：|（学生非常兴奋，异口同声地说：21根）
　　师：其实三幅画面上都是21根。现在你喜欢哪一种摆法？
　　生：我喜欢10根扎成一捆的摆法。
　　生：我也喜欢10根扎成一捆的摆法。（学生的意见基本统一）
　　认识11～20各数，是学生对数的认识的一次飞跃，让学生建立十进制的概念，理解计数单位“十”是培养数感的基础。围绕“怎样摆放让别人也很快地看出是12根”这个问题，在教学中巧妙地设计了三种方法，通过比较体验10根扎成一捆这种方法的优越性。这种结合具体实物的教学，突破了10个一就是1个10的教学难点，从而使学生理解了数的意义，建立了正确的数的概念，为培养数感奠定了扎实的基础。
　　（二）数的概念教学与操作活动相结合
　　数的概念教学具有高度的抽象性，而小学生的抽象概括水平较低，他们在认知过程中很难从现成结论中真正理解和掌握数学知识。操作活动是学生多种感官的协同活动，是对客观事物动态感知的过程。数与操作相结合是指在数的概念教学过程中，适时给学生提供学具，让学生通过摆一摆、分一分、看一看、数一数、量一量、画一画等活动，进行感知性操作，使数的概念具体化、形象化、趣味化，帮助学生形成数感。
　　例如，在“分数大小的比较”的教学中，教师在学生认识了一些简单的分数后进行了操作与探索：请同学们拿出相同大小的长方形纸，通过折一折、比一比，你发现了什么？学生经过自主探索，归纳出结论：分子不变，分母越小，每份就越大；反之，分母越大，每份就越小。通过简单分数大小比较，使学生初步建立了分数大小的表象，学生通过动手操作、自主探索，加深了对分数的认识。
　　又如，在教学实际测量时，教师就应该让学生到操场上去走一走、跑一跑、测一测、量一量，这样学生就能深刻感受50米、100米、400米的距离。在教学质量单位时，教师可以让学生看看、称称、掂掂各种物体，也可以尝尝几克零食，让学生亲身感受1克、100克、1千克的实际重量。这样的操作活动深受学生的喜爱，不仅帮助学生建立起长度和重量单位的概念，还能使学生对数学学习充满乐趣并获得数感的体验。
　　（三）数的概念教学与语言交流相结合
　　抽象思维的发展同语言交流紧密相关，数的概念教学与语言交流相结合，就是教学中为学生创设交流平台，通过倾听、思辨、表达等活动，让学生在具体的语境中互相启发、互相学习、互相借鉴，体会数可以用来表示和交流信息，从而拓展思维，丰富对数的认识，促进数感的形成。
　　例如，在教学“小数的意义”时，笔者通过数学游戏帮助学生理解小数的意义。游戏规则是：请一位同学说一个小数，其余的同学在提供的正方形图中用铅笔涂色表示出来。
　　生（报数）：0.6。其余同学涂。（投影展示作品，见上图）
　　师：你能说说你是怎么想的吗？
　　生：因为0.6就是把一张纸平均分成了10份，取其中的6份。
　　师：好，接下来请同学再说一个两位小数。（生说0.05，用同样的方法交流学习，然后学习0.65的意义）
　　师：0.65怎么涂呢？（学生操作，教师先展示一位同学的答案）
　　师：你是怎么想的，能说说吗？
　　生：若取了5格就表示0.05，那么0.65我就取65格表示。
　　师：你能告诉大家0.65里面又有几个0.01吗？
　　生：有65个！
　　师：大家表示的都和他一样吗？（这时有一位同学表示了不同意见）
　　师展示作品。
　　师：你能说说你的想法吗？
　　生：因为前面已经表示了0.6和0.05，所以我直接用前面的两张正方形的纸加在一起表示。
　　师：好！有哪位同学听懂了他的表示方法？（许多同学举起了手） 　　师（请其中的一位同学）：请你来说说！
　　生：他的意思是把0.65拆开来，分成了0.6和0.05，再分别用纸表示出0.6和0.05。
　　……
　　学生在交流中不断体验小数各数位间的关系，学生的思维活跃，在交流中加深了对小数的组成和小数的意义的认识。在操作交流中不断体验、建构小数的概念。
　　又如，笔者在教学“升和毫升”时，练习中要求学生会看刻度说出水的体积。图示为：一个量筒装有1000毫升水，另一个量筒装有700毫升水，倒在一起是多少呢？学生看图后想出了多种方法：有的说1升700毫升；有的说1.7升；有的说1700毫升；有的说1升。学生用多种方法表示同一个数量，通过讨论验证这些方法都是正确的。说明相同的水的体积，可以用整数表示，也可以用小数和分数表示。这样学生就在分数、小数、整数之间建立起了联系，丰富了对数的认识，进一步发展了数感。
　　二、数形结合，在直观中内化数感
　　“数形结合”是数学教学中重要的数学思想，在数学实践中有着广泛的应用。本文的“数形结合”意指学生数感培养的一种策略，就是在数与运算的教学中，借助于直观形象的图形表征展开教学。将抽象的运算意义和算理等形象化、简单化，给人以直观感，为数与运算的教学搭建思维的桥梁，拓宽学生对运算教学的理解，从而内化为数感。
　　（一）算理教学与图形表征相结合
　　算理教学与一定的图形表征相结合是抽象思维与形象思维的有机融合，能形象地揭示运算原理，拓宽学生对运算意义的理解。
　　例如，在“分数除法”教学中，在教学“÷2”时，笔者先让学生通过长方形纸片探究分数除法的算理。
　　师：把一张纸的平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？
　　生：÷2
　　师：÷2等于多少呢？你们先自己估计一下。
　　学生纷纷认为等于，但说不出理由。
　　师：同学们估计得对不对呢？我们可以用长方形纸来验证。
　　教师指导学生先表示出 ， 再把 部分涂上颜色。如图1。然后结合图2、图3启发学生思考：把平均分成2份，就是把4个平均分成2份，每份就是2个，就是。再结合图3启发学生思考：把平均分成2份，每份就是的，也就是×，进而推出÷2=×=。在这个过程中，学生将形和数紧密地联系起来，借助图形理解了分数除法的算理，掌握了计算法则。
　　又如，在计算++++++时，按照常理学生会按照异分母分数加减法的计算法则，先通分，再按照同分母分数的加法进行计算。如果我们在解答时借助下图把问题隐含的规律外化出来，问题就可以得到实质性的解决。只要计算1-=就得到了本题的正确答案，计算方法的简便性和灵活性就得到了体现。在本题的解答过程中，算理教学与图形表征相结合，促进了学生对算理的理解，也培养了学生的数感。
　　（二）运算定律与图形表征相结合
　　运算定律与图形表征的结合是指在运算定律的教学中，借助图形表征使抽象的运算规律形象直观地呈现出来，便于学生探究和学习。同时在数与形的结合、转化过程中，也发展了学生的数感。
　　例如，在“积的变化规律”教学中，笔者先出示一个长方形（如上图）。
　　师：看，这是一个长方形。想一想，你会求它的面积吗？
　　生：长方形的面积是20×12=240（平方米）。
　　（板书：20×12=240）
　　师：长×宽=长方形的面积，这个长方形的面积是240。接下来，老师想给它变一变，睁大眼睛仔细看。（课件出示：宽扩大3倍）猜一猜，现在面积是多少呢？
　　生：可能是720。
　　生：720。
　　生：900。
　　师：猜出这么多的答案，你们觉得哪个更准确些？有不同的吗？
　　生：240×3=720。
　　师：你是怎么想出来的？（板书：240×3=720）
　　生：面积扩大了3倍。
　　师：3是怎么发现的？从哪里看出来的？
　　生：宽扩大了3倍。
　　师：还有不同的算法吗？
　　生：12×3=36，36×20=720。
　　师：我们现在算出来的面积都是720。那它的面积到底是不是720？我们来验证一下。（课件重叠分成3份）
　　师：面积跟原来比，发生了怎样的变化呢？
　　生：长不变，宽扩大了3倍，面积也扩大了3倍。
　　……
　　然后引领学生从其他几个方面探究长方形面积的变化，最后从长方形的面积变化规律中总结出了积的变化规律，使抽象的数学规律借助于长方形面积的表征，直观形象地展现在学生面前，学生既收获了数学规律的无穷魅力，更激发了探究的无限乐趣。
　　三、算用结合，在应用中强化数感
　　数感也包括学生运用数与运算及其简便性知识灵活地解决实际问题的能力。因此，在实际应用中，教师要培养学生合理选择计算方法，灵活地估计运算结果，让学生在算用结合中强化数感。
　　（一）估算与应用相结合
　　生活中很多时候都要用到估算。课程标准也指出，估算相对于精确计算在日常生活中有着更广泛的实际应用，更是发展学生数感的有效途径之一。因此，教师在教学中要善于抓住各种有利时机，改变学生对估算的认识，让学生感受估算的魅力，增强估算意识，逐渐养成良好的估算习惯，从而发展学生的数感。
　　例如，“一本书9元，全班52人，全班每人买一本大约需要多少元？”在估算过程中有的学生认为：“10×50 = 500，估计在500元左右”；有的学生认为：“10×52 = 520，不到520元”；有的学生可能说：“9×50 = 450，肯定比450元多”。对于这些方法，教师都应该加以鼓励，并为他们提供合作交流的机会，让他们在相互交流中，比较各种算法的特点，不断完善自己的估算方法，逐步发展估算的意识和策略，从而将估算内化为一种自觉、自主的意识，进而形成一种习惯，使学生在不断地估算中发展自己的数感。
　　在解决问题的计算中，教师不仅要重视计算的结果，还要把计算结果在实际问题中的合理性作出判断，这是数感发展的重要途径。例如，对于“运载532位乘客需要多少辆设有42座的公共汽车”这样的问题，学生最初明确的方法是除法，通过计算，他们能很快根据四舍五入法得出13辆这样的答案，此时需要通过追问“13辆汽车够了吗”引导学生根据实际情况灵活合理地选择计算结果，感知计算结果的合理性，从而发展数感。
　　（二）简算与应用结合
　　利用运算的简便性解决实际问题是数感培养的重要途径之一。这样既能让应用成为学生理解简便计算方法及其算理的经验支撑，又能使解决问题能力与计算能力同步提高。
　　例如，这样一个案例：
　　六年级各班上学期消费桶装矿泉水情况
　　班 级 六（1）班 六（2）班 六（3）班 六（4）班
　　矿泉水（桶） 102 117 118 103
　　如果每桶矿泉水8元，六年级共需要付矿泉水费多少元？消费矿泉水最多的班级比最少的班级相差多少元？此题的教学要求不仅仅是获取计算的结果，而是要求教师能引导学生根据数据特点，灵活选用合理、简便的计算方法，培养和提高学生灵活、合理地选择计算方法的习惯和能力，促进学生数感的发展。
　　又如，在计算“256-99”时，学生在理解“256-100+1”时，喜欢用购物问题中的钱来表示一种关系。如一共带了256元去购物，应付99元，实付100元，应找回1元，把计算算理与实际问题有机结合，借助实际应用理解计算的简便性与灵活性，使数感得到强化。
　　总之，数感的培养是数学教学中的一项长期任务，数感的形成是一个渐进的、不断积累的过程。在课堂教学中教师要抓住“三个结合”，培养学生的数感，让学生在“数境结合”中体验数感，在“数形结合”中内化数感，在“算用结合”中强化数感，实现数感的培养与数学教学的和谐发展。
　　（浙江省天台外国语学校 317200）

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