充分条件必要条件充要条件 [小议集合与充分条件、必要条件、充要条件间的关系]
设A、B为两个集合。则AB是指: xAxB ① 即有:"xA"是"xB"的充分条件, "xB"是"xA"的必要条件。 反过来,若"xA"是"xB"的充分条件,即xAxB,则AB。
设A、B为两个集合,则A=B是指:
xAxB ②
即有:"xA"是"xB"的充要条件。
反过来,若"xA"是"xB"的充要条件,即xAxB,则A=B。
设p,q为含有变量x的语句,我们引入如下两个集合:
A=,
B=
如果AB,那么每个使p成立的变量x也使得q成立,即:若p成立,则q也成立,也就使说,从而p是q的充分条件,q是p的必要条件。
反过来,如果p是q的充分条件,那么由p成立可以推出q成立,也就是说,若xA,则一定有xB,从而有AB。
这样一来,要判断p是q的什么条件,只需判断集合A与集合B的关系即可。有如下结论:
① 若AB,则A是B的充分条件: ② 若A=B,则A是B的充要条件:③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。
总结:小充分大必要,相等是充要。
例题讲解:
例1 已知全集U={1,2,3,4,5,6},命题p:A={1,2},命题q:B={1,2,3,4}。试问:①p是q的什么条件?;②的什么条件?
解:①由A={1,2},B={1,2,3,4}得
AB
所以p是q的充分不必要条件
②从补集角度去分析:p:A在U中的补集,q:B在U中的补集。
即:p :={3,4,5,6},q:={5,6}
有 (小的补变大,大的补反而小)
所以的必要补充分条件
例2 已知命题p:|x-2|≥6,q:,若"pq"与"q"同时为假,求x的值。
解:由|x-2|≥6得 P:x≥8,或x≤-4
又 "pq"与"q"同时为假, 所以 p假 q真
从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分,即:
x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。
例3 已知命题p:|4-x|≤6,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0)若非p是q的充分不必要条件,求a的取值范围。
解:由|4-x|≤6解得 -2≤x≤10
所以 p:x10 记p:A={x|x10}
由q:x2-2x+1-a2≥0解得x≥1+a,或x≤1-a
记q:B={x|x≥1+a,或x≤1-a}
因为非p是q的充分不必要条件,即:
从而由。
例4命题方程有两个不等的正实数根,命题方程无实数根。若"或"为真命题,求的取值范围。
解:由方程有两个不等的正实数根得:
解得 得:p:
由方程无实数根得:
得:q:-32
由方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根得:得得:q:1
①当p真q假时,有
②当p假q时,有
由①②(取并)得:
法二:直接将p、q解出的m呈现在数轴上取并集后挖去公共部分剩于部分。
由数轴可得:
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