改进的指数函数方法求时空分数阶混合(1+1)维KdV方程的新精确解
陈兆蕙,阳平华*
(广州城市理工学院计算机工程学院,广东 广州 510800)
受“孤立波”现象的启发,荷兰数学家Korteweg和deVries在研究关于浅水问题中的小振幅长波运动时合作发现了KdV方程。这是一种典型的非线性色散波动方程,物理学中的很多现象如:固态物理、冷等离子的磁流波、声波的传播、量子场、离子-声子波、非谐振晶格振动等都可以用这种方程来解释[1]。研究这类方程的精确解能给物理学提供可靠依据,也能加强数学和其他学科之间的紧密联系,所以研究它的精确解很重要。由于对分数阶偏微分的研究比整数解偏微分方程应用范围更为广泛、也更能准确表述物理和其他学科的特性,因此目前有(G"/G)-展开法和一般的tanh方法[2-6]、首次积分法[7-8]、改进的Riccati方法[9]、拟设法[10]、改进的Kudryashov方法[11-12]、Hirota方法[13-14]等研究分数阶偏微分方程,并且得到了多种不同类型的解。
本文在其他作者研究工作[1-17]的基础上,探讨一类时空分数阶混合(1+1)维KdV方程
(1)
其中a0,a1,a2是非线性系数,β是色散系数,这些系数都不为零且α满0<α≤1.当a0=a2=0,方程(1)变成了时空分数阶KdV方程[15],张志惠[15]使用指数展开法求解出了该方程的精确解;
当a0=0,方程(1)变成了时空分数阶KdV-mKdV方程[16],赖晓霞[16]采用改进后的指数展开法研究了该方程的精确解,并采用符号计算软件给出了解的三维立体图形。本论文同文献[15-16]相比,方程项数增加,难度增大;
同文献[17]相比,虽然研究的是同一个方程,但是文献[17]采用的是首次积分法,本文采用改进的指数函数方法[15-16]。研究方法不同,本论文拓展了方程(1)的新精确解,且新精确解更加丰富。
Jumarie的修正Riemann-Liouville分数阶导数[15-16]按照如下定义:
定义1
定理1[15]
Jumarie的修正Riemann-Liouville分数阶导数具有以下性质:
首先对方程(1)作分数阶变换,令
(2)
这里的w是待定常数。将(2)式代入(1)式,有-wu′+a0u′+a1uu′+a2u2u′+βu‴=0,对上式积分一次,并且令积分常数为零,得到
(3)
综合考虑式(3)中u″和u3最高阶次数须达到平衡,即3n=n+2,得出n=1,从而
(4)
且φ(ξ)满足下列常微分方程
φ′(ξ)=pe-φ(ξ)+μeφ(ξ)+λ
(5)
其中p,μ,λ为待定常数。
将式(4)和式(5)代入式(3),有
合并(e-φ)i(i=0,1,2,3)的相同幂次项,有
令(e-φ)i(i=0,1,2,3)的各个系数等于零,得到一个关于b0,b1,w的代数方程组:
由上述方程组,得到b0,b1和w满足如下方程
由于约束条件不一样,得到的解也不相同。下面分情况讨论方程的新精确解。
第一种情形:
p=1,λ2-4μ>0,λ≠0,μ≠0,得到参数值如下:
此时
φ1(ξ)=
有新精确解
(6)
第二种情形:
p=1,λ2-4μ<0,λ≠0,μ≠0,得到
参数值如下:
此时
φ2(ξ)=
得新精确解
(7)
第三种情形:
p=1,λ2-4μ>0,λ≠0,μ=0,得到参数值如下:
(8)
第四种情形:
p=1,λ2-4μ=0,μ≠0,λ≠0,得到参数值如下:
(9)
第五种情形:
λ=0,p>0,μ>0,得到参数值如下:
此时
或
得新精确解
(10-1)
或
u5-2(ξ)=b0+b1e-φ5-2(ξ)
(10-2)
第六种情形:
λ=0,p>0,μ<0,得到参数值如下:
此时
φ6-1(ξ)=
或
φ6-2(ξ)=
得新精确解
或
(11-2)
第七种情形:
λ=0,p<0,μ>0,得到参数值如下:
此时
φ7-1(ξ)=
或
φ7-2(ξ)=
得新精确解
(12-1)
或
(12-2)
第八种情形:
p=1,μ=0,λ=0,λ2-4μ=0,得到参数值如下:
此时
φ8(ξ)=ln(ξ+ξ0)
得新精确解
(13)
为了更直观表示图形,这里对具有代表性的第一种情形下的精确解进行计算机仿真.取
限制0≤t≤6,0≤x≤8,得到图形如下:
图1 α=0.3时第一种情形下的精确解图形Figure 1 The exact solution of the graph in the first case with α=0.3
图2 α=0.9时第一种情形下的精确解图形Figure 2 The exact solution of the graph in the first case with α=0.9
本文使用改进的指数函数展开法扩充了时空分数阶混合(1+1)维KdV方程的新精确解。说明改进的指数函数方法对于求解分数阶方程有实用性和优越性。但是文中这类时间分数阶方程可否使用其他方法如:不变子空间方法、动力系统分支法等方法来研究它的新的精确解呢?这是后续研究的方向。
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