基于灰色GM(1,1)模型的桂林市GDP预测研究

蒋延军 李运德 李树德 唐洪贶

(桂林航天工业学院 电子信息与自动化学院，广西 桂林 541004)

国内生产总值(GDP)是一个国家(或地区)所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标[1]。分析预测GDP的数值对预测国家或地区经济发展具有很大的参考作用。近年来随着桂林市获批《桂林国际旅游胜地建设发展规划纲要》(发改社会[2012]3437号)和《桂林市建设国家可持续发展议程创新示范区》(国函[2018]31号)，标志着桂林国际旅游胜地建设正式上升为国家战略。桂林市社会经济水平得到了快速发展，巩固了桂林国际旅游地位，GDP呈现逐年增长的趋势。但是，在当前世界格局深刻变化，经济形势错综复杂，未来GDP发展趋势如何保持稳健发展，是大家关注的问题[2]，因此，对桂林市GDP发展趋势预测具有现实意义。

GDP预测历来是学者们研究的热点问题，国内外学者做了很多的相关研究工作。文献[3]中孙爱民采用2010—2018年西安市GDP数据，通过新息优先原则建立了改进GM(1,1)的预测模型，模拟GDP数据相对误差5.35%以内，并预测了西安市2019—2023年GDP数值，取得了一定效果，但预测精度有待提高；
文献[4]中Yuan Zou等采用2016—2019年美国、日本、中国和印度历史GDP数据建立了灰色马尔科夫链和ANN相结合的GDP预测模型，并分别对美国、日本、中国和印度进行2020—2022年GDP预测，预测相对误差均在5%以内，但预测模型计算较为复杂；
文献[5]中田梓辰、刘淼以2006—2015年新疆GDP历史数据，建立了基于拉格朗日插值改进的GM(1,1)模型，优化模型背景值，对新疆2016—2018年的GDP数据进行了预测，一定程度提高了预测精度，但对于原始数据波动处理不足。文献[2]中杨智凯、范彦勤等利用1995—2020年桂林的GDP历史数据，采用时间序列方法建立ARIMA模型进行拟合分析，并预测桂林市未来GDP数值，相对误差仅为2.5%，预测精度较高，但原始数据异常波动时，该方法预测精度会下降。

灰色系统理论是邓聚龙教授在1982年创立的，它是以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”“贫信息”不确定性系统为研究对象。实际上国家或地区GDP增长变化原因是复杂的，影响经济发展有些是已知的，有些是未知的，具有不确定性和灰色性，波动性和非线性，于是灰色理论很适合用于其发展和趋势预测[6-7]。为有效地削弱原始数据波动影响及提高预测精度，本文提出了一种基于灰色理论的桂林市GDP改进GM(1,1)预测模型，对GDP原始数据进行平滑处理及优化初始条件，从而更好地预测桂林市未来时刻的GDP发展趋势，以便为桂林市经济发展决策提供参考。

GM(1,1)模型是灰色系统理论中最常用最重要的预测模型之一，只是一阶一变量的微分方程，是社会经济发展趋势预测模型的一种有效模型[6-8]。本文对桂林市GDP实际历史数据建立GM(1,1)模型来进行灰色预测，其建模步骤如下：

1.1 一阶累加生成

设有一组GDP的历史记录数据序列，将其作为建模原始数据列x(0)，其中包含n个非负的原始样本数据列：

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，

(1)

对x(0)数列进行一阶累加生成

x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，

(2)

其中：

1.2 建立白化微分方程

由于生成数列x(1)(k)具有近似的指数增长规律，而一阶微分方程的解恰好为指数形式，因此，x(1)数列认为是能满足一阶线性微分方程模型：

dx(1)/dt+ax(1)=u；

(3)

式中：a为模型的发展参数，反映x(1)及原始数列x(0)的发展趋势；
u为模型的协调系数，反映数据的变化关系。

设：A=[a,u]T，根据最小二乘法解得参数A，

A=(BTB)-1BTY，

(4)

1.3 求解灰色白化微分方程，建立GM(1,1)预测模型

k= 0,1,2,…

(5)

1.4 进行一阶累加还原，得到预测值

k=1, 2, …

(6)

即得到原始数列x(0)的灰色预测模型：

k= 0,1, …

(7)

2.1 原始数据的平滑处理

社会公共突发事件对GDP影响很大，如新冠肺炎、地区冲突及经济制裁等,都会对GDP原始数据带来异常波动，对灰色预测是很不利的，容易使得预测误差剧增。因此，为了减弱原始数据波动带来的影响，可对GDP原始数据进行平滑处理，从而提高灰色预测的精度[9-12]。本文采用加权平滑法对GDP原始数据进行平滑处理，减弱原始数据突变值的影响，均衡原始数据列的变化趋势，尽可能使原始数据列保持指数的递增规律。

设：y(0)(0)=x(0)(0)，再按照(8)式对原始数列x(0)进行平滑：

y(0)(k)=αx(0)(k)+(1-α)y(0)(k-1)，

0<α≤1，k=1,2,…

(8)

2.2 初始条件的修正

原始GM(1,1)模型中求解参数a和u一般取实际数列的初始值x(0)(1)为初始条件，但该值并非为最优初始条件。虽然初始条件对参数估计值没有影响，但由(7)可知，生成序列和预测值均与初值x(0)(1)有关，因此进行初始条件的修正可以有效地提高预测精度[8，13-15]。

设修正式为：

x(1)(1)=x(0)(1)+b

其中：b为修正系数，这时灰色预测模型将为：

(k=0,1,2,…)

(9)

式(9)中，修正系数b对预测值有修正作用，当b=0时就为最初预测表达式。本文按照生成序列新预测值的误差在最小二乘意义下最小的原则选取b值[8]，即：

(10)

(11)

建立了基于原始数据平滑处理和初始值修正的灰色预测模型后，预测值是否可靠或者可信，需要进行模型检验。灰色预测模型的检验主要采用残差检验和后验差检验[10-15]。

3.1 残差检验

3.2 后验残差检验

根据C和p的值，按照模型检验精度等级表1进行检验。

表1 模型检验精度等级

4.1 数据来源

本文选取广西统计年鉴2021中桂林市2001-2021年GDP历史实际数据作为研究数据[1]，如表2所示。利用历史GDP数据建立桂林市GDP灰色预测模型，分析其GDP总量发展趋势，预测桂林市未来GDP变化。

表2 2001—2021年桂林市GDP数据

4.2 建立预测模型

首先，本文对原始样本数据进行选取时，不一定所有原始数据都用于建模，原始数据的维数不同会对预测精度有一定影响，本文分别选取了5至10维原始数据建立基于灰色理论GM(1,1)预测模型。其次，对预测模型进行数据拟合和精度检验，计算预测模型的方差比C和小误差概率p值，然后根据C和p值的大小来获得预测模型的可行性。若C和p符合一级精度要求，则直接采用预测模型进行数据预测，若C或p未达到一级精度，将启动原始数据平滑处理和初始值修正处理，重新建模直到预测模型符合一级的拟合精度，最后才对未来桂林市GDP数据进行预测。

本文根据历史统计数据，选取桂林市2001—2020年期间的GDP历史数据，建立改进的GM(1,1)预测模型,预留2021年实际数据作为预测结果的检验和对比分析。

建模时,根据桂林市GDP历史数据波动具体情况，分析GDP原始数据的波动程度，为反映数据的整体性，选择平滑系数0.8。每次启用样本数据平滑处理时平滑系数递进0.1，直至预测模型拟合数据符合精度要求为止，预测模型流程图如图1所示。

图1 预测模型流程图

表3 不同数据维度预测模型精度对比

表4 6维预测模型拟合数据和精度检验

图2 2015—2020年桂林市GDP模拟图

4.3 预测的结果及分析

本文建立了符合桂林市GDP预测要求的6维数据列改进灰色GM(1,1)预测模型后，对桂林市未来4年GDP数据进行预测，预测的结果与文献[2] 中ARIMA模型的预测结果进行了比较，如表5所示。

根据表5桂林市GDP预测数据及相对误差可知，本文预测模型的GDP预测数据与实际数据相比, 2020年拟合值相对误差2.24%和2021年预测值相对误差1.05%，稍优于文献[2]中预测结果：2020年预测相对误差2.5%和2021年相对误差2.16%。

2015—2020年桂林市GDP实际数据和本文对2015—2024年桂林市GDP拟合和预测数据的发展趋势，如图3所示。

本文预测模型拟合和预测数据均有较高的精度，符合实际应用要求。可供桂林市经济发展实际应用和决策参考。

表5 桂林市GDP预测数据及相对误差

图3 2015—2024年桂林市GDP预测数据

分析和预测地区GDP的发展数据对预测国家或地区经济发展有很重要的现实意义。为有效地削弱GDP原始数据波动大的影响，提高地区GDP预测精度，本文提出了一种基于灰色理论的改进GM(1,1)模型，对桂林市GDP进行了预测。首先采用桂林市2001—2020年的实际历史数据作为灰色G(1,1)预测模型建模的原始数据。其次对原始数据进行平滑处理和模型初始值优化，并对预测模型进行精度等级评价。然后经过实验对比，选取6维原始数据列进行预测拟合，获得了较高的模型拟合精度，更好地适合中长期GDP预测，并可用于实际GDP预测。最后对2021—2024年桂林市GDP数据进行了预测，并与对应年份GDP实际值进行了比较，结果表明预测数据精度较高，相对误差1.05%以内。预测结果可作为桂林市经济发展应用和决策参考，该方法也可对其他地区GDP预测有一定借鉴意义。

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