弱外生性条件下双固定效应模型估计方法的优化

胡晓辉

(嘉兴学院 经济学院,浙江 嘉兴 314001)

面板数据的发展为因果推断提供了基础条件，有助于理解事物关系背后蕴藏的真实机制。但Granger等因果检验经常受到抽样周期、变量选择和弱外生性的影响。其中，处理弱外生性的GMM方法适用于T固定和N较大的情况，而Bootstrap方法适用于有滞后因变量的模型。随着万得和国泰安等数据库的应用，企业面板数据分析达到了前所未有的高峰。大多数研究倾向使用固定效应模型以保证估计结果的精确性，却往往忽略上市公司样本数据的实际抽样特征，在未知企业总体分布情况下，将其作为完全随机处理，以及忽略不同企业跨时间观测存在的非时变个体异质性。固定效应方法将企业的个体特定效应作为待估参数，并以初始观测为条件进行推断。因为冗余参数问题(Incidental Parameter Problems)[1]，面板数据模型的固定效应估计量可能存在严重偏差。Jackknife折刀法不需要对冗余参数偏差进行明确的描述，因此很容易适用于估计系数和平均边际效应，以及具有多重个体效应的模型。折刀法的实际应用包括删除一个随机组的面板折刀法[2]、矩形阵列渐近下的最大似然法[3]、有限总体校正的线性化Jackknife方差估计[4]、Jackknife经验似然法[5]、双系统估计量的方差估计[6]、分割面板折刀法[7]，各种方法之间的主要区别是如何界定和估计偏差。上述研究大多证实Jackknife方法具有低阶偏差纠正功能，但是很少进一步研究固定效应高阶偏差的修正问题。Dhaene等[7]考虑Half-Panel Jackknife方法,但在分析中要求N/T→κ，其中0<κ<∞，同时满足N,T→∞，却没有明确样本企业面板数据普遍遇到的N相比T较大的情形。

本研究结合Jackknife方法估计企业个体和时间双固定效应，解决上市企业数据的抽样特征与控制企业的非时变个体异质性。主要贡献在于：(1)针对T固定而N较大的特殊情况，解释分割面板折刀法未充分说明的变量弱外生性问题，仅需要满足误差项与弱外生性解释变量未来值之间的相关性呈指数衰减，从而在建模时放宽了假设条件，提高了本方法的通用性。(2)假设弱外生变量可按个体和时间维度进行分解，从而将异质的非线性模型简化为线性模型。文章其余部分安排如下：首先是折刀法高低阶纠偏差原理的推导和介绍，其次是企业数据实例的分析和讨论，最后是结论与展望。

1.1 固定效应估计及冗余参数问题

假设给定数据zit，其中i表示个体，t表示时间，且zit在i和t之间可独立。同时，具有密度函数f(zit;β0;αi0)，参数β0∈Θ和αi0∈A，其中，αi表示个体固定效应。采用极大似然法，可得到固定效应估计量。

(1)

(2)

1.2 固定效应估计低阶偏差修正

针对上节中需要修正的估计偏差βT-β0，Hahn等[2]假设数据在组成和时间上可分离，从未知分布的总体中抽取容量为T的样本，以统计量βT来估计总体参数β仍会产生一定误差。

(3)

为了解决该问题，折刀法利用抽样样本大小的变化来获得偏差βT-β0的非参数估计。将原样本切割去掉第t期后得到的统计量记为β-t:

(4)

(5)

1.3 固定效应估计高阶偏差修正

假设1存在βT与∑，当N,T→∞时，S表示刀切面板子集

Hahn等[2,3]分别提供了静态和动态模型中满足这两个假设的基础条件。结合假设2.1与假设2.2，当N,T→∞，如果N/T→ρ，对于某些ρ∈(0,∞)，得到:

(6)

定义刀切面板子集S⊆{1,2,…,T}，使得S的元素是连续整数，且S的基数|S|≥Tmin，其中Tmin是βT的最小T值。则与S所对应的极大似然估计表示为:

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，j为整数。

对于所有的j≥0和给定的g，存在[T/g]≤|S|≤[T/g]适用于任意S∈Sj，则二阶偏差项等于-gB2/T2。

1.4 Half-Panel Jackknife固定效应偏差修正

在二阶偏差项-gB2/T2上对g取最小化，进一步得到对半面板折刀法的双固定效应(Half-Panel Jackknife FE-TE)估计量。

(11)

考虑线性面板数据模型：

(12)

其中，yit是跨截面单位i和时间t的因变量，μi和δt分别代表个体固定效应和时间固定效应，xit表示弱外生变量，β是对应的估计系数，uit是误差项。

假设3外生变量xit可进行如下维度分解:

(13)

其中，uix和δtx分别代表与弱外生变量x相关的个体固定效应和时间固定效应，随机向量ω遵循一般线性过程，Ais是系数矩阵，vit是特定回归变量的创新项，s是子面板集合。

假设4(弱外生性条件) 对所有i和t,h>0且0<ρ<1，满足supit‖γit,uv(h)‖

E(vi,t+h,uit)=γit,uv(h)

(14)

假设5(子面板回归条件) 对所有i和s，且0<ρ<1，满足‖Ais‖

(15)

(16)

(17)

结论

=O(T2)

(18)

由此证明，面板数据模型(12)在弱外生变量情况下，对于任意固定的偶数T≥T0，对半面板折刀FE-TE估计系数的偏差为O(T-2)阶，且偏差小于Dhaene等[7]获得的FE-TE估计量。

为验证Half-Panel Jackknife方法估计固定效应模型的适用性和性能，本文以《中国工业经济》杂志2018年和2019年各一篇文章，利用附件中公开的面板数据及其程序代码，比较分析本研究方法对数据抽样特性以及企业异质性的优化作用。回归系数估计偏差可能存在向上或向下两种情况，采用实例1显示对半面板折刀法纠正系数被高估的情况，实例2显示纠正系数被低估的情况。鉴于对半面板折刀法需要的数据结构为平衡面板，且时间年份为偶数，故对两个实例的数据集进行了部分处理。其中，对半面板折刀法的程序代码根据Chudik等[10]分析案例所改编。另外，利用STATA软件中ivreg2命令提供的弱工具变量标准，检验结果表明，解释变量满足弱外生性假设，并且能在有关政策冲击下保持相对稳定性。因此，满足对半面板折刀法高阶偏差修正所需的重要假设2.3(弱外生性条件)。

2.1 并购重组与企业创新

陈爱贞等[11]关于“并购模式与企业创新”的研究，其主要变量和企业面板数据可用于本文分析。他们利用2007～2017年中国A股制造业上市公司数据，采用Tobit固定效应和多重差分方法分析境内并购与跨境并购对企业创新的促进作用。文中原数据样本量为14458，其中并购事件4804起，本研究剔除2007～2009年的数据，获得2010～2017年样本量8112，其中并购事件2773起。企业个体数(N=1014)远大于时期数(T=8)，且两者均为大于2的偶数，符合对半面板折刀法纠正估计偏差的前置条件及相关假设。鉴于短面板中的冗余参数问题最为严重，相比原样本(N=1615,T=11)，本研究使得企业个体数(N=1014)相比时期数(T=8)变得更大，进行Half-Panel Jackknife模型估计的结果相当于一次稳健性检验。主要变量定义如表1所示，采用企业每年的专利流量反映企业当年的创新活动，并购重组属于二元变量。

表1 主要变量说明

由于附件数据中没有提供企业是否发生跨境并购(cma)，故本研究仅以企业是否发生并购(treated)为解释变量，以专利申请数(lnapp)为因变量进行回归分析，估计结果如表2所示。其中，第2列表示按非平衡面板数据采取Tobit固定效应估计系数，第4列表示非平衡面板处理后的Tobit固定效应估计系数，第6列表示对半面板折刀法估计系数。本研究估计方法基本上支持陈爱贞等的研究结果，证实并购重组对上市公司创新具有积极正面的影响。首先，非平衡面板与平衡面板的Tobit固定效应估计系数相差不大，正负号未发生变化，主要变量treated的系数值在0.1%水平上显著为正。但得到控制变量的不同估计，Tobit固定效应(1)模型有一个变量(ros)不显著，而平衡面板显示了结果的稳定性。其次，将Tobit与对半面板折刀法估计结果进行比较可发现，后者R2略有增大，而各系数的标准误均有缩小，显著性水平则有提高。从变量treated的估计系数值(0.0334)来看，采用普通固定效应估计，会略微高估并购重组对企业创新的作用。最后，引入变量ρ衡量企业不可观测异质性的方差占总误差方差的比例，非平衡面板Tobit估计相比平衡面板Tobit估计的ρ值较大，可能是因为企业数较多，且有部分企业中间年份的数据缺失，导致差异性增大。而对半面板折刀法估计的ρ值(=0.3781)比Tobit估计的ρ值都要小，表明Tobit固定效应模型有必要控制不可观测的异质性。通过ρ值和标准误两方面的比较分析显示，当N>T时，FE-TE估计仍存在较大程度的偏差，而Half-Panel Jackknife FE-TE估计偏差相对较小。

表2 并购对创新的积极影响

表3 主要变量描述及计算公式

2.2 政府补助与企业创新

本研究采用郭玥[12]有关“政府创新补助的信号传递机制与企业创新”一文同样的数据集。该文选取2008～2015年沪深A股上市公司非平衡面板数据，运用双向固定效应、2SLS等方法评估政府补助对企业创新投入和创新产出的政策效应。原数据样本量N=17051，本研究剔除部分年份不全的企业个体，获得2008～2015年平衡面板数据的样本量N=10840，基本保留原数据容量和结构。主要变量说明如表3所示，其中，因变量包括两种类型：研发投入(rd1与rd2)和研发产出(pt、pti与ptud)。解释变量为两类政府补助，控制变量为一些企业特征。

如表4所示，同郭玥的文献保持一致，本研究也仅给出基于研发投入和研发产出的回归模型中政府补助两个解释变量的系数估计。其中，双向固定效应(1)就是文献非平衡面板数据的估计结果。非平衡面板固定效应估计比平衡面板估计的ρ值更大，对半面板折刀法估计的ρ值比双向固定效应估计都要小，证实固定效应模型仍有控制不可观测异质性的必要。同样，对半面板折刀法估计的R2略有增大，并且该方法估计的标准误均小于普通固定效应估计，而t统计量绝对值普遍大。不论采取哪个因变量，对半面板折刀法估计创新补助(rdsubsidy)效应的系数均高于FE-TE方法。另外，平衡面板的rd2模型中变量非创新补助(nrdsubsidy)系数变为正，达到5%显著性水平，t统计量绝对值由0.011明显增大为1.126；
pt模型中变量nrdsubsidy系数也变为正值，虽然未达到5%显著性水平，但符合通常情况所认知的政府补助会激励企业增加专利申请；
pti模型中nrdsubsidy系数值增至3倍以上，达到1%显著性水平，t统计量也明显变大。这些变化反映出对半面板折刀法估计结果更具统计学意义，与前面高阶偏差修正理论研究发现相符合。

表4 政府补助对创新的影响

本文研究了固定效应模型估计的优化策略，当企业面板数据呈现N相比T较大时，现有普通固定效应估计方法不能够控制企业数据的抽样特征与个体异质性，一般折刀法利用抽样样本大小的变化纠正了低阶偏差，但没有充分解决冗余参数问题。本文给出了这类(N,T)维数面板FE-TE估计量的精确表达式，并考虑具有弱外生性变量的线性面板数据模型的估计和推理问题，通过对半面板折刀法对高阶偏差进行修正。并可能在一定条件下推广到N,T→∞的渐近无偏性，使得N/T3→0，使得该方法适用于较大截面和中等时间序列维度的面板数据分析。另一方面，在弱外生性变量条件下，FE-TE估计量可能有偏，除非N/T足够小。当回归变量是严格外生的时候，使用对半面板折刀偏差校正的效果当然会更好。

用两个公开企业数据的实证研究，说明弱外生性变量面板数据模型中对半面板折刀法的潜在应用。第一个实例表明FE-TE存在系数高估的情况。并类似截取部分年份数据的稳健性检验，发现在调整T值使得N/T变大的条件下，并未改变基准模型估计的关键结论，对半面板折刀法针对短面板的偏差纠正效应依然明显。第二个实例分析，表明FE-TE估计存在系数低估的情况，同样证明了基于Half-Panel Jackknife FE-TE方法估计的良好效果，这是一种易于实现的、可应用于一系列模型的估计方法。当然，找到该方法的更多实践应用是进一步需要研究的问题。同时，实例分析发现企业不可观测异质性的方差占总误差方差的比例依然较高(ρ>0.2)，为了尽可能减小固定效应面板模型中的估计偏差，还需要考虑继续放宽约束条件，使该方法能适用于一般性的参数模型，无论线性或非线性，动态或是静态。

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