案例分享：“与圆相关的新定义探究”教学设计

刘睿佳 _ 北京市第九中学分校

新定义问题常与动态问题一起呈现，有很强的综合性，需要学生具备将新问题转化为老问题的意识。本节课结合学情设计了一堂与圆相关的新定义探究课，重在方法教学。从阅读定义、勾画关键词、关注数学概念到举例，再到找符合定义的全集；
从理解定义的内涵到定义外延的界定，加深对定义内涵的理解，逐步揭示本质。教学过程中渗透多角度看问题意识、转化思想等，整堂课不是为了解决某一道题，而是在解决问题的过程中，通过问题串帮助学生逐步形成研究问题的思考方式、解决问题的思路，教学生学会思考、学会学习。

在理解、解决与圆相关新定义问题的过程中学会将新问题转化成老问题，进而形成理解、解决新定义问题的思路与方法；
在理解定义的过程中，培养阅读、提取、加工信息的能力，培养从多角度看问题的意识，体会转化数学思想，积累数学活动经验，提升几何直观素养；
培养独立探索、合作交流的习惯，培育严谨求实的科学精神。

环节一：理解定义

教师提问：面对一个新定义问题，在你的经验中你认为首先要做什么？怎么理解定义？怎样理解跟圆有关的新定义问题？

教师出示“新定义”——对于平面直角坐标系x0y中的⊙0和图形N，给出如下定义：如果⊙0平移m个单位后得到⊙0′，图形N上的所有点在⊙0′内或⊙0′上，则称m的最小值为⊙0对图形N的“覆盖近距”。

教师提问：请你说说你理解的定义。研究对象是什么？能确定什么，不能确定什么？在我们的经验中遇到两个都变的问题怎么处理？平移要关注什么？怎么盖住图形N？平移的最小值m最小是多少？

设计意图：关注关键词，关注数学概念，让学生用自己的语言来表达定义；
通过追问，回顾已有经验；
帮学生明确研究对象，学会研究几何问题的一般思路，进一步理解定义。

提问：图形N是什么？预设：举例，当⊙0的半径为2时，最简单的图形N是点，如点A（3，0），如图1所示，求⊙0对点A的“覆盖近距”。

提问：请你画出⊙0′。有不同想法吗？预设：移动圆，看圆心定移动的方向、距离；
从圆上点与点A的最小距离角度看问题，将问题转化成老问题——圆外一点与圆上点的最小距离；
移动点A，引发逆向思维，也是新定义题常考察的一种思维方式。

提问：能不能将上面的问题变一变？预设：条件结论互换。

提问：0′的位置能确定吗？预设：在圆外点A与圆心0定的对称轴上，如图2所示。

设计意图：体会对称轴对定圆心的重要性及平移的方向。

提问：能写出所有满足条件的点A吗？预设：以0为圆心、半径为3的圆，如图3所示。

设计意图：了解研究问题从简单到复杂、特殊到一般的思路；
知二求一，双向理解定义；
找全集的过程中加深对定义本质的理解，也为后续找全集作铺垫。

提问：当⊙0的半径为2时，图形N还可以是什么样的？预设：直线不行，是线段。

提问：请你给出一条线段，当⊙0的半径为2时，求⊙0对线段的“覆盖近距”及0′的位置。预设：长度不能大于直径，由于圆有旋转不变性，各线段可以转到竖直放置的样子，所以只研究竖直放置的线段就可以，如给出线段AB=1，A(3，0)，B(3，1)，如图4所示。

设计意图：通过问题串回顾圆的特有属性。

提问：在上一问中，点A被覆盖了吗？预设：能。

问题：AB=1，A(3，-0.4)，B(3，0.6)，求m的最小值，此时点A被覆盖了吗？预设：不能。

设计意图：引发冲突，反思上面的问题，对移动的方向产生质疑。

提问：怎么移动才能覆盖线段AB？是最小的移动距离吗？

设计意图：产生新的移动方向，再次产生冲突，并质疑前面问题的结果，反思回顾定义及上面的解题过程，最小是比较后才有的最小，而到此并未比较，思考会不会有其他移动方向，因而产生更小的移动距离。

提问：先解决覆盖线段AB，能找到0′的位置吗？

设计意图：退回到定义，进一步理解定义中的最小距离应是刚刚盖上的最小距离，因此找0′位置的全集，如图5所示，在此基础上，找到以线段AB上任一点为移动方向的0′的运动轨迹；
将问题转化为圆上动点与圆外一定点最值问题，即找0′的运动轨迹中最小距离位置，如图6、7所示。通过定义外延的界定加深对定义内涵的理解，揭示本质。

提问：让线段AB动起来，AB=1，沿x=3移动，求⊙0对AB的“覆盖近距”的最小值，并求此时A、B点的位置。预设：B(3，0.5)，如图8所示。

设计意图：关注圆的属性，圆与线段的对称轴重合。

环节二：应用定义

提问：当⊙0的半径为2时，图形N还可以是什么样的？预设：圆或其他图形。

设计意图：这样的设计符合本节研究点与圆、线与圆、圆与圆的研究思路，也符合研究几何问题的研究过程。

提问：当⊙0的半径为2时，D（3，t），E（4，t+1），且-1≤t≤2，记⊙0对以DE为对角线的正方形的“覆盖近距”为d，写出d的取值范围。

设计意图：运用本节所学，将问题进行拆解——将图形拆解成线段，同时学会将问题转化为点与圆或线与圆的问题。

环节三：课堂小结

通过例子理解定义是什么、还是什么、不是什么，不断加深对定义的理解，再按由点到线再到形的探究过程，不断用举例来界定定义的外延，同时还要关注背景图形的特性。

刘永江老师点评

解题教学中，教师应该有意识地在“教如何解题”的同时，把“反思解题思维过程”也当作解题教学的重要内容，通过问题引发学生思考，回顾解题过程，进而揭示问题的本质，对学生的直觉加以有意识的影响，诱发理性思考，把“思路从何而来”的反思作为数学解题教与学的核心，即数学解题重“溯源”。本节课尊重学生认知特点及认知规律，问题设计的内在逻辑关系、结构层次清晰，通过问题串帮助学生逐步养成研究问题的思考方式，形成解决问题的思路；
同时，也通过问题串引发学生思考，回顾已有的及课堂形成的解题思维过程，即有意识地引导学生有理有据地回顾解题思路的生成之道，原汁原味地还原教师和学生的解题思路，让学生体悟由无到有的生成过程，尤其是其中的试误过程, 进而深化对定义的理解，感悟解题的过程，教学生学会思考、学会学习。在这样的探索与实践中，提升学生的综合能力，培养学生严谨、理性、富于创新的科学精神，实现数学解题的教育价值。

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