形态学颗粒分析在细胞尺寸分布中的应用|细胞形态学

　　摘 要：以数学形态学中开闭运算及其相关性质为基础，研究形态学颗粒分析方法的相关性质。在实验中，先将获取的彩色细胞图像转化为二值图像,利用形态学开运算滤除小噪声斑点后,再采用形态学开颗粒分析,在有效保证细胞形状和大小的前提下,统计出细胞的大小分布情况。实验表明，该方法能有效地给出细胞体大小分布。�
　　关键词：开闭运算；A-开运算；颗粒分析；细胞分布 �
　　中图分类号：TP399 文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2012）003-0155-03��
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　　作者简介：卢峥（1983-），男，湖北武汉人，中南民族大学数学与统计学学院硕士研究生，研究方向为数学应用方法与图像处理。
　　
　　
　　1 理论基础�
　　在数学形态学中，开闭运算是所有形态学运算的基础：如果一个集合�X被集合A先腐蚀再膨胀，那么可以得到一个比原来更小的集合，将其称为A对X作开运算的结果，记为X・A=(XΘA)�A，常用α�A(X)表示X被A所作的开运算，即：α�A(X)=X・A=(XΘA)�A�。�
　　如果一个集合�X�被集合A先膨胀再腐蚀，那么可以得到一个比原来更大的集合，将其称为A对�X作闭运算的结果，记为X・A=(X�A)ΘA，常用β�A(X)表示X�被A所作的闭运算，即：�β�A(X)=X・A=(X�A)ΘA�。�
　　由定义可知开闭运算具有：①递增性若�X�Y，被同一集合A作开运算有：α�A(X)�α�A(Y);被同一集合A作闭运算有：β�A(X)�β�A(Y)�；②幂等性�(X・A)・A=X・A，(X・A)・A=X・A�；③开运算具有非扩张性�α�A(X)�X；闭运算具有扩张性β�A(X)�X�。�
　　文献［4］介绍了A-开运算。A-开运算作为建立形态学颗粒分析方法的基础，下面具体讨论A-开运算及其两个相关命题的证明。�
　　定义：对于给定的集合�X�，若有集合A使得�X・A=X，则称X�是A-开的。�
　　下面论证关于A-开运算的两个命题：�
　　引理1：集合�X�是A-开的充要条件是存在集合�Y使得X=Y�A�。�
　　证明必要性：若�X�是A-开的，那么�X=X×A=(XΘA)�A，令Y=XΘA，即得X=Y�A�。�
　　充分性由闭运算的扩展性知：�(Y�A)ΘA=Y・A�Y，如果X=Y�A�，
　　因为膨胀是递增运算�((Y�A)ΘA)�A=(Y・A)�A�Y�A，于是((Y�A)ΘA)�A�Y�A=X�。�
　　另一方面,由开运算的非扩展性知：�((Y�A)ΘA)�A=(Y�A)・A�Y�A=X，于是X・A=((Y�A)ΘA)�A=(Y�A)・A=Y�A=X�，即证。�
　　引理2：设集合�A,B�满足A是B-开的，那么对于每个集合�X�R�2�有：
　　��X・A�X・B（1） �
　　(X・A)・B=(X・B)・A=X・A（2）��
　　 证明根据膨胀满足结合律和交换律:�A�(B�C)=(A�B)�C，A�B=B�A�。�
　　因为A是B-开的，由引理1存在集合�C使得A=B�C=C�B�。又因为：�
　　�(X・A)・B=((XΘA)�A)・B=((XΘA)�(B�C))・B�
　　=(((XΘA)�C)�B)・B=［(((XΘA)�C)�B)ΘB］�B��
　　将�(XΘA)�C看作一个整体，由引理1证明过的结论((Y�A)ΘA)�A=Y�A可得： �
　　=［(((XΘA)�C)�B)ΘB］�B=(((XΘA)�C)�B)��
　　又膨胀满足结合律，可得：�
　　 �=(((XΘA)�C)�B)=(XΘA)�(C�B)=(XΘA)�A=X・A��
　　综上得到�(X・A)・B=X・A�
　　根据开运算的非扩展性X・A�X，再由开运算的递增性：�
　　X・A=(X・A)・B�X・B��
　　即证明了(1)成立。�
　　为了证明�(X・B)・A=X・A，因为(X・B)・A�X・A是显然成立的。由结论（1）有：�
　　X・A=(X・A)・A�(X・B)・A��
　　即证明�(X・B)・A=X・A�，因此（2）成立。�
　　2 颗粒分析�
　　按照A-开运算的原理，选择一个基元A，令�A�1=A，A�2=A�A=A�1�A，A�3=A�A�A=A�2�A，……，结合前面关于A-开给出的两个引理，可知对所有的r，A��r+1�是A�r�-开的。结合引理2中的结论（1）得到递增的图像序列：
　　��S・A�1�S・A�2�S・A�3�…��
　　 可以看到在�R�2中，令{rA}（r＞0）是由结构元组成的集合，因此对于（s＞r）有sA是rA-开的。假设X是形状和尺寸不一的颗粒组成的集合，用rA和sA分别对X�作开运算，由A-开运算原理，即：
　　��α��rA�(X)=X・rA�X・sA=α��sA�(X)��
　　 将A看作单位结构圆盘，用�α�r替代α��rA��.这一过程可以形象地理解为一个筛子，其中r可认定为筛子的筛孔大小，筛孔越大滤去图像中的部分也越多，但为保证应该保留的东西使之不致于损失，筛孔的选择是很关键的。 �
　　由上面的原理给出下面颗粒分析定义：如果r为一正整数变量，A为形态学基本结构元素，�X表示二值图像，那么α�r(X)={X・rA}为图像X的颗粒分析，记作{α�r}，其中rA=�A�A�…�A�r个�。 �
　　根据前面论述的筛子原理，可将r看作是筛子筛孔尺寸的大小，那么不难理解颗粒分析的3个基本特性：①经过筛选后的图象都为原来图像的一个子集；②如果图像A、B存在关系�A�B，经过颗粒分析{α�r}�筛选后的图象有:�α�r(A)�α�r(B)�，依然存在着图像间的包含关系；③采用不同尺寸的筛选算子�α�r和α�s�先后对给定图像进行筛选，筛选的结果不受先后顺序影响,所得到的图像与只用筛孔大的筛子筛选得到的结果是一样的。�
　　颗粒分析�{α�r}（r＞0）�还有以下性质：①若�A∩B=Φ，那么α�r(A∪B)=α�r(A)∪α�r(B)；②若A∩B≠Φ，那么α�r(A∩B)�α�r(A)∩α�r(B)�。�
　　这两个性质说明在对离散的图像和彼此粘连的两种图像进行颗粒分析时，筛选的结果是有区别的。如果颗粒彼此没有粘连，那么用颗粒分析算子对它们一起筛选和分开筛选时，所得到的结果是一致的；如果颗粒彼此是粘连的，用颗粒分析算子对它们一起筛选和分开筛选，所得到的结果可能相同，也可能存在一个包含关系。因此，在处理彼此粘连颗粒时，应该先设法将它们分开，然后再筛选。借助前面介绍的颗粒分析方法的相关原理和性质，下面我们对医用细胞图片进行形态学分析。�
　　3 实验过程及结果分析�
　　在生物体正常肌体中，活体细胞都有一个生长周期，当一个细胞分裂为两个细胞时，会经历细胞膨胀变大，当分成2个单个细胞后细胞又会变小，除去细胞正常的消亡，细胞的尺寸大小应该会在一个范围内变化。通过细胞学的相关理论我们可以知道，当细胞发生病变时，比如细胞萎缩或肿胀而死亡，在这些过程中细胞的大小是会发生变化的。下面利用前面介绍的理论，对细胞尺寸进行测量和统计分析。以一张彩色的细胞图片为例，其图像实验流程设计见图1。�
　　
　　图1 细胞处理实验流程�
　　3.1 细胞图片的预处理�
　　按照上面实验设计流程读出彩色图像(如图2(a)），将彩色图像转化为灰值图像（如图2（b））；在测量和统计之前，先将灰值图像二值化处理，为了减少背景噪声，选取较低阈值二值化(如图2(c)），细胞为黑色部分，其像素是0。为了准确统计细胞个数，必须对图像求补，然后填充图像中的孔洞（如图2（d））；为了避免图像中靠近边框形状不完整的细胞个体对测量准确度的影响,要将这些与边框粘连的细胞全部去除(如图2(e)）。�
　　在获取图像的过程中，由于受到各种因素的影响，所得到的图像总会或多或少的感染一些噪声，这些噪声会不同程度恶化图像的质量，给后面的统计带来误差，所以要对图像去噪。运用圆盘状结构元素集合{rA}（A为单位结构圆盘），选取r=9的圆盘对图像作形态学开运算去噪,同时平滑细胞体边界上的毛刺(如图2(f)）。接下来选用{rA}中不同尺度的结构元对图像筛选，将像素为1的对象逐步统计下来。�
　　
　　图2 细胞图像的预处理�
　　3.2 细胞个数统计�
　　统计的主要步骤包括利用圆盘状结构元素集合{rA}对预处理后的图像作颗粒分析,以统计出图片中细胞个数的尺度分布情况。首先，利用{rA}对图像作形态学开运算,随着结构元素从小到大递增，将产生一系列子图像,每一幅子图像对应于结构元素集合中的某一尺度（大小）的结构元素。然后，将相邻两幅子图像进行差分,便可得到对应于某一尺度的细胞图像,图3分别给出了不同尺度所对应的细胞个数的图像。�
　　
　　图3 不同尺寸对应的细胞个数图像�
　　在采用一系列递增尺度的结构元对图像进行筛选的过程中，筛除后的图像中会余下尺寸不同的细胞，将个数进行统计，得出一定范围内的细胞个数，见表1。�
　　
　　3.3 实验结果分析 �
　　为了分析结果，给出下面的定义：
　　��R=∑D�isum�D�i=r・N�i�Var=1sum∑(r���－�R�)�2 i=28,29,…,45��
　　 其中Sum表示图片中细胞的总数，�D�i表示不同尺度内所有细胞半径的和，N�i表示不同尺度内所有细胞的个数，�R�和r分别表示细胞的平均半径和细胞的实际半径，Var�为均方差用来衡量与细胞平均半径的偏离程度。结合图4和图5统计出的细胞个数分布情况，计算后给出对实验的分析结果（见表2），可以得出图片中细胞的平均尺度和细胞尺度的大体波动范围。�
　　
　　4 结束语�
　　本文研究了建立在数学形态学开闭运算基础上的二值形态学颗粒分析方法的基本原理和相关性质。在此基础上给出了细胞图片的医学图像处理。为准确快捷地测量细胞尺度分布，采用了一种基于形态学开颗粒分析的测量方法。该方法首先对采集到的原始图像进行预处理，以消除噪声斑点、细胞粘连、边框细胞缺损等因素对测量的影响，然后利用基于形态学开的颗粒分析统计颗粒尺度分布。该方法的不足之处是，在连续作颗粒分析的过程中，细胞外边界也逐步被磨光，因此会导致所统计的细胞精度不高。该方法通过选取适宜大小和形状的结构元素,可应用于其它像大豆、谷物、煤炭、胶囊等颗粒图像的统计分析。�
　　参考文献：�
　　\[1\] MATHERON G. Random sets and integral geometry ［M ］. New York:JohnWiley,1975.�
　　［2］ HEIJMANS H. Morphological image operators ［M］.Boston: Academic Press,1994.�
　　［3］ 王小鹏，王紫婷.基于双参数颗粒分析的纹理分割［J］.光电工程，2007（7）.�
　　［4］ 崔屹.图像处理与分析――数学形态学方法及应用［M］.北京:科学出版社,2000.�
　　［5］ 邹丹平，胡德生，金升俊，等.基于分水岭的彩色图像颗粒分析方法［J］.中国图象图形学报，2005（11）.�
　　［6］ DI RUBERTO C, DEMPESTERS A, KHAN S, et al.Analysis of infected blood cell images using morphological operators ［J］.Image and Vision Computing, 2002(20).
　　
　　（责任编辑：余 晓）

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