一种基于矩阵的MBR方向关系模型|4种分块矩阵的逆矩阵

　　摘要：在空间主方向关系推理的研究中，方向关系模型是其中一项至关重要的课题。介绍了区间代数模型、矩形代数模型和极小边界盒模型，提出了区间代数的矩阵表示方法，并给出了以矩阵表示的区间代数和方向关系矩阵之间的转换方法。
　　关键词：方向关系模型；方向关系矩阵
　　中图分类号：TP311.13 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 （2012） 17-0000-02
　　1 引言
　　在空间主方向关系推理的研究中方向关系模型起着至关重要的作用。Allen在1983年提出了区间代数理论，他提出区间代数中共有13种原子区间关系，并给出了这13种原子区间关系的基本运算法则。Balbiani提出了矩形代数理论。根据MBR模型，Theodorids建立了基于MBR的主方向关系模型。[1]
　　本文将方向关系矩阵模型与MBR模型、区间代数和矩形代数模型相结合，利用这三种模型之间的关系，提出了区间代数的矩阵表示形式，并给出了以矩阵表示的区间代数和MBR模型之间的转换方法。
　　2 区间代数和矩形代数和MBR的主方向关系模型
　　2.1 区间代数理论
　　区间代数理论指出，任意两个有限区间之间，存在13种关系，称为区间代数的原子关系。如果原子关系的集合用Aint来表示，那么Aint={p，m，o，s，d，f，pi，mi，oi，si，di，fi，eq}。区间的基本关系是区间原子关系的^。
　　2.2 矩形代数理论
　　矩形代数理论是将区间代数的一维关系扩展到二维空间而形成的。矩形代数中矩形框的四边平行于空间中的x轴和y轴。每一个矩形框向坐标轴的投影都是一个有限区间，因此矩形代数关系可以分别向两个坐标轴投影，将矩形关系分解为坐标轴上的区间代数关系。两个矩形物体的原子关系集合用Arec表示，它们分解到两个坐标轴上的区间关系分别有13种，那么矩形代数的原子关系集合中的关系数量就有13*13种，即169种。矩形代数的基本关系就是矩形代数原子关系的合取，那么矩形代数基本关系就有2169种。若A和B分别表示矩形代数关系在x轴和y轴上映射的区间原子关系，那么这个矩形代数关系就可以表示为A和B的笛卡尔积，即A×B。
　　2.3 MBR主方向关系模型
　　Theodorids利用MBR建立了基于MBR的主方向关系模型，使用物体的极小边界盒之间的关系来表示物体之间的方向关系称为MBR方向关系。MBR的主方向关系模型中的两个矩形之间有 36种基本方向关系，表示为： NW，SW， NW：NE：N，N：NE，SW：SE：S，NW：W，NW：W：N：B， NW：W：N：NE：E：B，N：B，N：NE：E：B，NE：E，NW：SW：W，N：W：B，W，W：B，NW：NE：N：W：E：B：SW：SE：S， NE：SE：E， W：E：B，N：B：NE：S：E：SE，NW：W：SW：N：B：S， B：E， W：SW，W：E：B SE：S：SW：，B：S，NE，B：S：SE：E，N，E：SE，B，SW：S，S：SE，E，NW：N，W：S：B：SW， SE。[2]
　　矩形关系和基于MBR主方向关系的基本关系之间的关系存在以下定理。
　　定理1：设a和b是两个物体的MBR，若它们之间的方向关系是a B b，其对应的矩形代数关系为{eq，s，f，d }?{eq，s，f，d }，表示为：B??{eq，s，f，d }?{eq，s，f，d }。同样可以得到以下结论： SW ? {p，m}×{p，m}。NW ? {p，m}×{pi，mi}。NE ? {pi，mi}×{pi，mi}。SE ? {pi，mi}×{p，m}。S ? {eq，s，f，d }×{p，m}。 W ? {p，m}×{eq，s，f，d }。N ? {eq，s，f，d }×{pi，mi}。E ? {pi，mi}×{eq，s，f，d }。
　　根据定理1的结论，MBR主方向关系的每一个原子关系分别对应着一组矩形代数关系。由于区间原子关系存在端点重合的情况，如果将这些端点重合的情况合并，就可以得到六组区间代数的基本关系，分别是{p，m}、{o，fi}、{di}、{eq，s，f，d }、{oi， si}和{pi，mi}，利用区间代数的基本关系，我们可以得到基于MBR主方向关系的36种基本关系的矩形关系定义。
　　定理2：基于MBR的基本方向关系一一对应于区间基本关系的笛卡尔积所形成的矩形关系。
　　定理3：在基本区间关系中任取两组，将这两组基本区间关系的幂集（除去空集）做 ×操作，所得到的结果对应于一个基于MBR的基本方向关系，并且是一一对应的。
　　上述两个定理可以利用群举法得到。
　　3 矩阵模型和区间代数以及矩形模型的关系
　　根据MBR的定义，空间区域a在坐标轴上的投影同MBR在相应坐标轴上的投影是相同的。将参考物体分割为9个区域，用一个3*3的方向关系矩阵可以清晰的表示这些区域之间的相邻关系和两个物体之间的相交情况，参考物体的9个区域分别对应方向关系矩阵中的9个元素，如果目标物体和参考物体相交，则用1表示，如果不相交则用0表示。MBR主方向关系的36种基本关系可以用方向关系矩阵来表示。
　　方向关系矩阵有两种基本运算：向X轴的投影MapX和向Y轴的投影MapY。R表示一个基本方向关系矩阵，这两种运算分别表示为MapX（R）和MapY（R）。定义如下：
　　定义MapX（R）：设基本方向关系矩阵以R来表示，它表示的是一个矩形方向关系。那么MapX（R）为矩阵R最北边的矩形关系的矩阵，去除全部为0的行后所得到的一维矩阵。
　　同样，定义MapY（R）即为矩阵R的最西边的矩形关系的矩阵表示，去除全部为0的列以后所得到的一维矩阵。
　　定理4：设R是一个基本主方向关系，那么有：
　　R= MapY（R）×MapX（R）
　　而MapY（R）和MapX（R）是基本方向关系中的一种。
　　六组区间代数关系的矩阵表示可以通过对基本MBR主方向关系进行投影运算得到。
　　划分后的六组区间代数关系的矩阵表示为：{p，m}对应的矩阵表示为 ，{o，fi}对应的矩阵表示为 ，{di}对应的矩阵表示为 ，{eq，s，d，f}对应的矩阵表示为 ，{si，oi}对应的矩阵表示为 ，{pi，mi}对应的矩阵表示为 。
　　证明：矩阵 对应MBR主方向关系SW，SW对应{p，m}×{p，m}，而MapX （ ）= ，因此关系{p，m}对应的矩阵表示为 。同理可以证明其他区间关系的矩阵表示形式。
　　MBR基本主方向关系的矩阵是一个3×1矩阵和一个1×3矩阵做笛卡尔积得到的，而这个3×1矩阵是六组基本区间代数关系矩阵做转置得到的，
　　由此我们可以得到一下结论：MapY（R）是基本区间代数关系矩阵的转置。
　　定理5：R是一个基本主方向关系矩阵，那么R为MapY（R）何MapX（R）的笛卡尔积，即R= MapY（R）×MapX（R），其中MapX（R）和MapY（R）的转置都是基本区间关系的矩阵表示。
　　定理5可以通过群举法证明，证明过程略。定理5在求解方向关系矩阵的反关系和进行一致性场景的查找时都有重要作用。
　　4 结论
　　在空间方向关系模型领域，区间代数模型、矩形代数模型和MBR主方向关系模型是三种比较重要的方向关系模型，而方向关系矩阵模型则是比较完善的一种新的方向关系模型，我们利用区间代数、矩形代数和MBR三种模型之间的关系，通过方向关系矩阵来表示这三种方向关系模型，给出了MBR和区间代数、矩形代数的方向关系矩阵之间的转换方法，这种方法为进行定性的空间方向关系推理奠定了基础。
　　参考文献：
　　[1]杨楠，石伟铂.基于矩阵的MBR主方向关系的反关系[J].燕山大学学报，2007（03）.
　　[2]石伟铂.基于MBR的主方向关系推理[D].燕山大学，2007.
　　本文系2010年秦皇岛市科学技术研究与发展计划项目（编号：201001A013）研究成果

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