一道课本问题的解决引发的思考_故宫口红引发的问题思考

　　摘 要：数学课程改革应倡导教学探究，让学生在探究过程中理解数学的本质。笔者认为这里的探究的含义是多方面的，对我们一线教师而言对课本上的知识生成、例习题解法以及涉及的思想方法的探究意义尤为重要。
　　关键词：探究；课本问题；多种方法；数学思想
　　中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）23-068-1
　　选自苏教《选修1-1》P90 练习8：已知海岛A与海岸公路BC的距离为AB为50km，B，C间的距离为100km.从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h，登陆点应选在何处，所用时间最少？
　　分析：易知点P一定在B，C之间，可设BP=x，则水路AP=2500+x2公里，陆路PC=（100-x）公里，将这里的总时间y表示成关于x的函数，得y=2500+x225+100-x50，这里由题意可知x∈（0，100），下面就是如何解函数的最小值问题了。
　　方案1 由于我们刚刚学习过导数，我们可以对函数进行求导
　　y′=12（2500+x2）′252500+x2-150=x252500+x2-150，令y′=0则x2500+x2=12，
　　x=5033（负值舍去）
　　当x∈（0，5033）时，y′0。
　　所以当x=5033时，函数有最小值。
　　所以当登陆点距离B点x=5033km时，所用时间最少。
　　这种处理问题的方式是用导数来研究函数的最值，学生容易想到这种处理方案。“这个世界本不缺少美，只是缺少发现的眼睛”，同样，我们是不是少了探索的眼睛呢？是不是我们对问题的解决就仅限如此呢？
　　方案2 u=22500+x2-x，为了求解u的最小值，除了平方，我们还可以考虑把根式里面的式子配成完全平方式，联想到1+tan2θ=sec2θ，我们可以将函数关系变形为u=22500+x2-x=1001+（x50）2-x，令x50=tanθ，θ∈（0，arctan2），则
　　u=1001+tan2θ-50tanθ=100secθ-50sinθ=100cosθ-50sinθcosθ=50·2-sinθcosθ
　　上面两种方案中我们都是选择的长度为变量，实际上我们在处理这种图形类应用题时经常选择一个活动的角为变量。下面我们来看如下解法。
　　方案3 设∠BPA=θ，（arctan120，函数单调递增
　　所以当θ=π3，即BP=50tanθ=5033∈（0，100）时，函数有最小值，即着陆点据点B为5033km时所用时间是最少。
　　我们再回头看几种解法，方案2为了去掉根号，我们采用了三角换元，我们没有考虑角θ的几何意义。但是在方案3中，我们直接选择了∠BPA=θ作为变量，实际上方案2中的角实际上就是∠BAP啊！
　　这两种方案本质是相同的呀！总结起来前面的3种方案可以变化为8种解题方法。
　　辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，在数学中，不同的数学分支，不同的思想方法之间也都具有这种联系性，有的显而易见，有的则较为隐秘。数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，在这个过程中，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法如转化、数形结合等思想产生较为清晰的认识。
　　回顾这几种方法，无非是选择长度为变量，还是角为变量列出时间与变量之间的函数关系。但当你看问题的视角不同，切入口不同时，所面临的问题也不尽相同。虽然这几种方法中有些处理问题的方法现在不常用甚至不用，但我们不能否认这种思维方式的存在。一道课本问题的解决背后有着丰富数学思想，如果没有认真探究和深入的思考是没有办法领悟到的。
　　王国维在《人间词话》说：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界。数学解题也何尝不是呢？第一重境界是“解”，就是想尽一切办法解决当前问题；第二重境界是“思”，就是解题后的回顾和反思，总结解题的思想、方法和变化；第三重境界是“归”，就是将获得的知识经验与书本知识联系起来，在回归到书本上来。只有这样多思考，多探索才能谙熟课本例、习题目功能，对数学本质有着更深入的理解。只有这样，数学教师才能引领学生跳出题海，数学才能真正从学术形态走向教育形态。

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