【“一题多解，一题多变”教学片段及反思】 片段教学案例分析题

　　一题多解是数学教师在几何教学中常用的手段，它不仅有助于提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛，更重要的是有助于开阔学生思维，能从多角度、多方位、多层次思考问题，把握问题的整体，即抓住它的基本特征，又能抓住它的细节和特殊因素，从而放开思路进行思考。因此，在课堂上抓好例题一题多解，一题多变的教学这一关无疑是培养学生良好思维能力的契机，那么，如何设计有效地例题教学策略使之发挥应有的功能，是一个值得我们探讨和努力地研究课题。
　　现就一题多解例题的教学片段，谈谈自己的想法及反思 。
　　课例
　　如图1所示：P是ΔABC内一点， PE∥AB，PF∥AC，∠EPF=60°，求∠BMN+∠CNM
　　师：只知道一个角的大小，但有两个平行关系，如何求解？
　　生1：利用两直线平行，同旁内角互补
　　∠BMN=180°-∠MPE，
　　∠CNM=180°-∠NPF.
　　∠BMN+∠CNM=180°-∠MPE+180°-∠NPF
　　=180°+∠EPF=240°
　　师：很好，思路清晰，还有其他解法吗？
　　生2：利用两直线平行，同位角相等
　　∠BMN=∠EPN， ∠CNM=∠FPM
　　∠BMN+∠CNM=∠EPN+∠FPM
　　=180°+∠EPF=240°
　　生3：利用内错角
　　师：再看一看，还有什么图形，还可能利用哪些几何结论？
　　生4：利用邻角、外角
　　∠CNM=∠A+∠AMN
　　∠BMN=180°-∠AMN，
　　∠BMN+∠CNM=180°+∠A，延长EO交AC于K
　　得∠A=∠EPF=60°，
　　即∠BMN+∠CNM=240°
　　生5：利用四边形内角和
　　同学们轻松地说着自己的想法，课堂气氛轻松活跃，教师也满意学生的表现。
　　师：现在我们已经有了好几种解法，回顾解法。看看生4的解法，有何发现？
　　生6：∠A=∠EPF=60°，∠BMN与∠CNM都与∠AMN
　　有关，假若知道∠AMN就好了，若∠AMN=20°，则
　　∠BMN+∠CNM=240°
　　师：这确实是一种快捷方法，通常我们叫它“特殊值代入法”。许多时候，我们利用它可以快速得到问题的答案，适合于填空题、选择题。不过它有一定的局限性，不能用作严格推理证明。你们能用一般方法证明∠BMN+∠CNM=240°吗？
　　生7：令∠AMN=x，则∠BMN=180°-x，
　　∠CNM=60°+x
　　∴ ∠BMN+∠CNM=180°-x+60°+x=240°
　　师：非常好，这位同学的解法来源于对某角取特殊值的增加条件得来，具有一般的意义。大家再从生4的结论中仔细找找，你有何新发现？
　　生8： ∠BMN+∠CNM的结果与∠A有关，即只与 EPF有关，∠BMN+∠CNM=180°+∠EPF
　　师：慧眼识英雄，再已知条件下若点P与∠BMN+∠CNM只与∠EPF有关，（1）若点P可以在MN上移动，其他条件不变，∠BMN+∠CNM=？（2）若点P运动到AC边上时，其它条件不变，结论也成立吗？（3）若点P与点A重合时，结论还成立吗？分小组探讨，看看哪一小组最快解决问题？
　　反思这个教学片段，带给我许多思考和启发。
　　（1）精心备好一节课，是上好一节课的基础。如果教师在备课中没有作好一题多解，一题多变的准备，那么课堂将没有深层次的研究，对学生 求异思维的培养将是空谈。
　　（2）注重学生的差异性，不同层次的学生所想到和掌握的方法一定是不同的，问题的解决不是指答案的得到，而应指向方法的提炼与思维的形成。所以在问题解决的过程中，才需要寻求解决策略的多样性，这样既可以满足各个层次学生的学习需求，也能更好地
　　（3）例题的价值是由例题所包含的思维含量决定的，教师的作用在于对题目思维含量认识到位后构建有效的教学形式。在平时的教学中，可能因为时间、精力、教学习惯等原因就例题而讲例题，长此以往不仅教师教学水平徘徊不前，更重要的是学生能力得不到培养。作为一线教师，要深入研究例题的基础上，对例题进行合理地教学设计，从而通过有效教学手段引导学生抓住为题的本质，让学生学到知识，学到方法，学会思考。
　　（4）在平时的教学中能借助一题多解，一题多变来培养学生多角度、多方位、多层次思考问题，也是对我们教师的创造性思维提出了要求。教师在教学过程中，能在求同证法中及时捕捉到激发学生求异的思维亮点，将学生思维从特殊引向一般，有助于提高学生的数学思维品质。同时教师能站在一题多解的“同”和“异”两个视角进行变式创新，无疑对学生的创新能力的培养有着潜移默化的作用的。因为变式是模仿和创新的中介，是创新的重要途径。变式学习要求学生重视“变式设问”，善于“变式思考”，敢于质疑，批判，勇于探索创新。
　　总之，借助“一题多解，一题多变”培养学生依照研究的对象所提供的信息，沿着不同的方向去思考，对信息和条件加以重新组合，探求多种解决方案或新途径的思维形式是我们教师任重道远的任务。也是一个值得我们探讨和努力地研究课题。

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