【论数学直觉思维能力的培养】 直觉思维很强的人特点

　　[摘 要]：该文章从直觉思维的涵义引入，全面、具体介绍了直觉思维与直观、直感、顿悟的区别与联系。阐述了直觉思维与逻辑思维辩、证统一的关系，简述了直觉思维的特点。文合与简约、直接与迅捷的特点，同时认为直觉思维有其独特的创造性和增强自信力的作用。文章通过论证了学生的数学直觉思维是可以培养起来的。文中着重介绍了自己的教学中培养学生直觉思维可以从基础知识的落实、设置动机和意境诱导、渗透数学的哲学观点和审美观念、课堂教学以及适合培养学生直觉思维的时期等方面着手进行。
　　[关键词]：直觉思维 特点 功能 培养
　　随着素质教育的全面推广与落实，《中学数学教学大纲》（实验修订本）将培养学生三大功能之一中的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然仅仅去掉两个字，概念的内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。人们认识到，在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养，由于长期得不到重视，学生在学习过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要信心，从而丧失数学学习的兴趣。教学过程中教师也会错误的认为：数学仅为严格的和严密的逻辑推理，从而导致教学的呆板乏味，课堂缺乏应有的活力，不能有效地调动学生的积极性，使学生的主体作用得不到应有的发挥。
　　过多地注重逻辑思维能力的培养，不利于逻辑思维能力的整体发展，也不符合素质教育的时代要求。而培养直觉思维能力是社会发展需要，是适应时期社会对人才的需求，更是素质教育的具体落实。
　　一、直觉思维及其有关概念
　　直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象（结构及其关系）的直接领悟和洞察。
　　对直觉思维作以下说明：
　　（1）直觉与思维
　　直觉是人脑对突然出现在它面前的新事物、新现象、新问题及其关系的一种极其迅速的识别，是直接的理解，它是思维中的间接思维的范畴。直觉思维不仅是非严谨的，也是非逻辑的。
　　（2）直觉与直观、直感的区别
　　直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如：两边相等的三角形叫等腰三角形是等腰三角形概念，但概念的界定没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知，而直觉的研究对象则抽象的数学结构及其关系。庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久会变得无能为力。例如我们无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。”①由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个全新的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓‘直觉’……因为它适用的对象，一般说来，在我们的感观世界中是看不见的。”②
　　（3）直觉与逻辑的关系
　　从思维方式上看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意地把两者分离开来，其实是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理。但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否具有直觉成份？数学直觉是否具有逻辑性？例如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断一猜想离不开直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的。
　　问题解决也离不开直觉，我们不妨考察一下数学问题的证明中直觉的作用。
　　一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”，一个成功的出发点到目的地的通道。一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个路段。当一个成功的证明摆在我们面前时，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必须能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久便会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西构成了证明的一致性……这些元素的安置顺序比元素本身更重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是平时训练产生的一种直觉。
　　在平时的教育教学过程中，教师由于把证明过程过份的严格化、程序化，学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《中国青年报》曾报道：“约30%的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育的重视与反思。
　　（4）直觉与顿悟
　　顿悟又称灵感。提起灵感，不由得使人们想起阿基米得从浴缸里发现浮力，顿悟到测定皇冠含金量的方法；想起笛卡尔解析几何的萌芽思想产生于凌晨枕上初醒时的佳谈。灵感闪现的情境常常是：对一问题久思不得其解，刚下心头又上眉头，纵使绞尽脑汁，仍似一团乱麻，然而却在暂时闲置的片刻，由于一种突然的刺激，使得茅塞顿开，久悬之疑豁然而解。因而顿悟是一种高度复杂的思维活动，是人们在科学研究或其它创造活动中，因思维高度集中而突然表现出来的一种心智活动，它是直觉驱动下思维活动的直接结果。
　　二、直觉思维的主要特点
　　直觉思维具有灵活性大、自发性强、偶然性和不可靠性高等特点。因此是应为创造性思维的一种。但从培养直觉思维的必要性来看，我认为还有以下一些特点：
　　（1）综合性与简约性 　　直觉思维是对思维对象从整体上考察，不拘泥于事物的局部，着眼于从整体上揭示事物的本质及相互关系，又把事物的各种信息结合起来考察，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断。它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种开发，因而体现了思维形式的整体性和思维方向的综合性；是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但它却清晰地触及到事物的本质。
　　（2）直接性与迅速性
　　直觉出现的速度快，浓缩思维过程，舍弃中间环节，直达事物的本质认识。它是一种瞬间时的判断，有时甚至是突如其来的。虽然不受逻辑规则的约束，不含详尽的推理，表现出逻辑的中断，但还是以头脑中保持的信息为基础的，是凭借大量知识和经验所产生的结果，是理想思维的“凝练”，因而体现出思维过程中的直接性和迅捷性。
　　（3）创造性
　　现代社会需要创造性人才。我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多地注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节上的推敲，是思维的大手笔。正是由于直觉思维的无意识性，它的想象才是丰富的、发散的，使人的认识结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。
　　伊恩·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”③，许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧氏几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别皇冠含金量的方法；凯库勒发现苯芬的环状结构等均是直觉思维的成功典范。
　　（4）自由性
　　直觉思维在经验的基础上，依据事物整体的、最突出的特征，对结果作大致的判断，未经过周密的考虑。所以直觉判断错误是常有的事，这表现出了直觉的结果带有或然性。但思维方式却是自由的，往往蕴含着创造性思维，也可能提示解决问题的途径。
　　三、直觉思维的功能
　　据直觉思维的特点可知它有发现功能，是提出猜想的一种途径；也有选择组合的功能以及创新和增强自信力的功能。
　　（1）发现功能
　　基于直觉的特征，直觉贯穿于日常生活之中，也贯穿于研究之中，凡有思维活动的地方都存在着直觉。“两点之间线段最短”是由于直觉的认识：“任何代数方程都有公式解”也是人们出于直觉的认识而得以解决的。
　　（2）选择组合功能
　　彭加勒认为，数学的发展与创造，无非是一种“组合”的“选择”而已，即从已有的数学事实（概念、判断、变换、结构、理论等等）出发，可形成无穷无尽的组合，而数学家的工作，就是要在这无穷的组合中选择有用的组合，扬弃无用的组合，这选出有用的组合的能力取决于直觉。
　　（3）创新功能
　　直觉与顿悟因不受逻辑规则的条条框框制约，它的思路灵活，容易转移，形成一种放射式的非线性的思维方式，因此它能直接地、突如其来的获得突破性创新。
　　（4）增强自信力
　　学生对数学产生兴趣的原因有两种：一是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认的是，情感也有重要作用。但我的观点是，兴趣更多来自于数学的本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物质奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震憾是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻石动力，从而更加相信自己的能力。
　　高斯在小学的时候就能解决“1+2+3+……+99+100=？”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而现在的初中生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法成功，形成自信。
　　在学生具体解答数学问题中，直觉思维与逻辑思维同等重要，而且直觉思维还有其独特的不可替代的作用。例如：
　　如图：⊙C的半径为6，圆心C的坐标为（0，9），点P在x轴正半轴上移动，过点P作⊙C的切线，切点分别为A、B，连接AB交y轴于点D，当点P在x轴正半轴上移动时，D点的位置是否改变？若不变，求出D点的坐标；若变化，设OP=X，请你用含x的代数式表示D点的坐标。（2003年上海市卢湾区中考题）
　　此时不论学生选择D点坐标变与不变，均要凭直觉先得出一结论，然后去加以论证。诸如此类的猜想题型，直觉思维起着无法替代的作用。
　　四、直觉思维的培养
　　一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉是不断提高的”。因此，数学直觉是可以通过训练提高的。而十多年的数学一线工作经验告诉我，可以通过以下途径有效地提高学生的数学思维。
　　（1）扎实的数学基础是产生直觉的源泉，教学中必须首先培养学生扎实的数学基础知识。
　　直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚扎实的数学基础功底，是不会迸发出思维的火花的。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一些东西，而且你通过大量例子以及通过其它东西的联系取得了处理那个问题的足够经验，对此你就产生一种关于正在发展的过程是怎么回事及什么结论应该是正确的直觉。”④阿达玛曾风趣地说：“难道一只猴子也能应机遇而打印成整部美国宪法吗？”如何培养学生扎实的数学基础功底？我认为至少可以通过以下三方面去落实。
　　①落实基本概念：通过各种途径，采取多种手段使学生对所学过的数学基本概念了如指掌，牢固掌握。
　　例如：在《解直角三角形》一章的教学中，对四种三解函数的定义我采用了默写过关的办法，从三解函数的定义方面给予强行落实。结果在特殊角四种三角函数值的教学过程中，我仅作粗略的点拨，学生知时间内竟然领会了方法，记熟了几个特殊角的四种三角函数值。对几个特殊的任一三角函数，学生能准确而迅速地得出其值；反这，也能迅速而准确地据四种三角函数值说出具体的角度。这表明，学生对特殊角的三角函数值已开始形成了直觉思维，可见，基本概念的落实是产生数学直觉的前提。 　　②熟练运用基础定理：教学中运用启发、分析、一定理多用的途径和方法使学生熟练掌握基本数学定理。
　　例如：在切线的性质一节⑤教学过程中，学和初结识时容易对定理和推理混为一堂，于是启发学生对性质定理和两个推论进行分析比较：它们各自的题设是什么？结论是什么？它们有什么区别和联系？通过比较学生发现：定理中，①过切点，②过圆心→③垂直；推论1中，②过圆心，③垂直→①过切点；推论2中，①过切点，③垂直→②过圆心。通过详细的比较，学生对切线的性质有了一个整体的全面认识，达到了熟练掌握定理的目的，在解决圆的切线性质运用方面更易形式直觉思维。
　　③教学中常采用比较、一题多解的方法使学生灵活掌握基本的解题方法和技巧。
　　在因式分解一节教学中，讲完课本例题后我在黑板布置课堂练习：分解因式：X6-1。学生出现了两种做法：一种是X6-1=（X2）3-13=（X2-1）（X4+X2+1）=（X+1）（X-1）（X4+X2+1）；另一种是：X6-1=（X3）2-12=（X3+1）（X3-1）=（X+1）（X-1）（X2+X+1）（X2-X+1）。针对两种解法，我对每种解法选派一名代表上黑板版书，然后启发学生思考：两种解法过程中有错误吗？经过激烈的争论和详细的讨论后，学生一致认为：套用公式分解过程都没有错误。于是我反问学生，结果为什么不一样？学生默然。于是我再次启发学生：比较两个结果，有哪部分相同？哪部分不同？学生发现了不同部分：（X4+X2+1）与（X2+X+1）（X2-X+1）。我满脸狐疑地问学生：“这两个式子都是从X6-1中分解得到，其它部分都相等，那么这两个式子呢？”学生满脸疑惑：应该相等才对呀。部分成绩较好的同学已经开始动笔演算了。不久，一数学成绩良好的学生大声回答：“它们是相等的！”“为什么？”于是他上黑板例出算式：（X2+X+1）（X2-X+1）=X4-X3+X2+X3-X2+X+X2-X+1=X4+X2+1。“这不是因式分解！”有人喊道：“倒过来写不就得了吗！”他强辩道。“我能分解！”一成绩优秀学生举手回答，我示意他上黑板例如算式：X4+X2+1=X4+2X2+1-X2=（X2+1）2-X2=（X2+X+1）（X2-X+1）。
　　于是，我写出了两种完整的解法，并进一步与学生一道归纳出了因式分解的另一种方法——配方法。虽然加深了难度，但学生对因式分解的兴趣更浓了，因式分解技巧和方法更加熟练了，因式分解的直觉思维更强了。
　　经过多种的尝试，只要这三方面真正落实了，学生的数学基础功底也就基本扎实了，至少有了数学直觉的源泉。
　　（2）重视解题教学
　　教学中选择适当的题型，有利于培养、考察学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选项中挑出正确的一个则可以省略解题过程，容许和适当鼓励学生合理的猜想，有利于学生直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养学生直觉思维的有效方法。因为开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索因，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维的发展。
　　（3）设置直觉思维的意境和动机诱导
　　实施素质教育，首先要求教师转变观念，把主动权还给学生，让学生的主体地位和作用得到充分的发挥。因此对于学生大胆的设想应给予充分的肯定，对其合理的成份及时给予鼓励、爱护，扶植学生的自发性直觉思维，以勉挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
　　例如：已知如图正六形ABCDEF内接于⊙o，AE、AC交BF于G、H，H、G是BF的三等分点吗？
　　学生学完正多边形有关概念后，本来应该不难凭直觉得出正确结论：G、H为BF的三等分点。但对此结论肯定者有之，怀疑者也有之。于是启发学生思考：你感觉是或不是？究竟谁的正确？进一步启发分析：图中有哪些线段、弧、角相等？当学生清理完相等的量后，再进行启发分析：这些相等的角、弧能带来哪些角、线段或弧相等？当一步步得出结论后，学生会更进一步确信：我的直觉是正确的！
　　“跟着感觉走”是我们经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇地在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。
　　（4）重视课堂教学中对学生直觉思维的培养
　　一切教学活动的中心在课堂，因此，培养学生数学直觉思维的主战场应在课堂教学中。如何针对具体的教学培养学生的数学直觉思维呢？我曾做了不少的尝试，归纳起来有如下几种方法：
　　①根据直觉思维的发现功能，课堂中针对每个数字定理或命题的教学时首先启发学生根据已知条件（题设）进行大胆有假设或猜想，而不是首先给出结论再去证明，这比直接给出定理的证明更有利于培养学生的直觉思维。
　　②根据顿悟的突发性和瞬时性，可在教学中启发学生集中精力努力思考、构成产生顿悟的思维基础。
　　例如：我在解题数学中常常满脸期待，提醒学生“想想”，“再想想”，“一定有办法去解决，但究竟是什么办法呢？”等语句督促学生集中精力，加强思维的方向性训练。
　　③根据直觉思维的创造性，在教学中针对不同的定理、性质、定义多方面联系实际生活中实例，给学生营造一个广阔的思维空间。
　　与想象一样，由直觉与顿悟获得思维产物也有很大有随机性和不确定性，所以往往会给人造成一种虚假，这是非逻辑思维的最大不足之处。为克服直觉带来的猜测性和不清晰性，必须积极严重要求学生对猜想结果加以严格的论证推理，以摒弃错误直觉，培养正确的直觉。
　　（5）渗透数学的哲学观念及审美观念
　　直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高层建邻的把握事物的本质，这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，即使新版教学中删除了和的立方公式和立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），也可以运用对称观点判断结论的真伪。 　　美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识。审美能力越强，则数学的直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆地提出了反物质假说，他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。
　　（6）把握直觉思维能力培养的最佳时期
　　人一生的少年期是介于童年期和青年期之间的过渡期，是一个从幼稚向成熟过渡的阶段，是直觉思维显著发展和提高的最佳时期。同时，初中课程及其内容的设置也符合直觉思维能力的培养和发展。因此，作为教育工作者，我们不应错过这培养直觉思维的最佳时期，而应恰当地把握好受教育者的身心发展各阶段及课程设置的具体内容适时施教，有效地培养学生努力发展直觉思维能力，提高学的素质能力，促进学生各种思维健康、全面地成长。
　　五、结束语
　　直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展。伊恩·斯图加特曾经说过这样的一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是教学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向，通过多年的教学我发现，培养直觉思维不仅不会防碍学生的逻辑思维的培养，还有助于学生由凭“直觉”得来的“果”去“索因”，反而会促进逻辑思维能力的培养。
　　注释：
　　①《庞加莱传》80-88页，1986年8月第一版，教育出版社
　　②迪瓦多内《创新思维》76页，1998年6月第一版，内蒙出版社
　　③伊恩·斯图加特《直觉思维》，1989年7月第二版，教育出版社
　　④阿提雅《人生的直觉》，1987年8月第一版，四川出版社
　　⑤九年义务三年制初级中学教课书《几何》第三册92-93页，2001年12月第一版，人民教育出版社
　　参考文献：
　　[1]甘治湘主编《教育学》1996年3月第一版，58-65页，湖南师范大学出版社
　　[2]徐厚道主编《心理学》1995年7月第二版，75-86，湖南师范大学出版社
　　[3]李求来主编《初中数学课堂教学研究》1999年5月第一版，65-68页，湖南师范大学出版社
　　[4]沈文选著《中学数学思维方法》1999年5月第一版，148-155页，湖南师范大学出版社

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