巧用定义,风景一路|微信头像风景
我们知道双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,当然这里要注意两点:(1)距离之差的绝对值;(2)2a<|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同:当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.灵活使用这个定义,能在解题的过程中发挥很大的作用,下面我们来看一下双曲线定义的几个应用.
一、巧用定义求轨迹
例1 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
分析:解决本题的关键是寻找点M满足的条件,对于圆与圆的相切问题,自然而然地想到圆心距与半径的关系,还必须注意同圆的半径相等这一条件.
解:如图:设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件,得到:|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2,根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小).
这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x21-y28=1(x<0).
点评:(1)本题是利用定义求动点的轨迹方程,当判断出动点的轨迹是双曲线的一支,且可以求出a、b时,就可以直接写出其标准方程,而无需用距离公式写出其标准方程.
练习1:已知△ABC的底边BC长为12,且底边固定,顶点A是动点,使sinB-sinC=12sinA,求顶点A的轨迹.
答案:建立适当的直角坐标系,则B(-6,0),C(6,0),设A(x,y)为轨迹上任一点,则y≠0,|BC|=12.因为sinB-sinC=12sinA,利用正弦定理,我们有|AC|-|AB|=12|BC|,结合双曲线定义,动点到两个定点C、B距离之差为6,动点A位于以B、C为焦点的双曲线上,又注意到,此时A点只能在左支上,并且不能与左顶点重合.双曲线中,实轴长为6,焦距为12,则a=3,c=6,b2=c2-a2=27,中心在原点,两焦点在x轴上,方程为x29-y227=1,所以A点轨迹是双曲线x29-y227=1的左支,并且除去点(-3,0).
二、巧用定义求面积
例2 已知F1、F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
分析:利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积.
解:∵P为双曲线x24-y2=1上的一个点且F1、F2为焦点.∴||PF1|-|PF2||=2a=4,|F1F2|=2c=25
∵∠F1PF2=90°,∴在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
∵(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16,∴20-2|PF1||PF2|=16,
∴|PF1|·|PF2|=2,∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=1.
点评:双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.
练习2:若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点是F1、F2,过F2的直线交右支于A、B,若|AB|=5,求△AF1B的周长.
答案:由题意得到:|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4,
把两式相加|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=8,且|AF2|+|BF2|=5,所以|AF1|+|BF1|=13,则△AF1B的周长为18.
三、巧用定义求角
例3 已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上的左支上且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
分析:一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形.
解:∵点P在双曲线的左支上,∴|PF2|-|PF1|=6,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36.
∴|PF1|2+|PF2|2=100.∵|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100,∴∠F1PF2=90°
点评:(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化.(2)题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视.
练习3:已知双曲线的离心率为2,F1、F2分别为左、右焦点,P为双曲线上的点,∠F1PF2=60°,且S△PF1F2=123,求双曲线的标准方程.
答案:方程为x24-y212=1.
(作者:周文国,江苏省张家港职业教育中心)
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