[浅谈数列求和]数列求和

　　【摘 要】本文笔者结合高中数学教学难点和高考中的难点，详细介绍了数列求和的常用方法：公式法、乘比错位相减法、分组求和法、倒序相加法和倒序相乘法、裂项相消法、数学归纳法、待定系数法等。
　　【关键词】数列求和 常用方法 高考难点 高考教学
　　【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2012）24-0149-01
　　数列求和是高中数学的一个重点，也是高考的难点，纵观山西省近几年高考数学的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题，因此搞好数列求和的学习是非常重要的，经过整理，常见的数列求和的方法有四种：
　　一 常用公式法
　　直接利用公式求和是数列求和最基本的方法。常用的数列求和公式有：
　　Sn= =na1+ d （ 为等差数列）
　　Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）
　　（ 为等比数列）
　　二 乘比错位相减法
　　对于数列 ，若an=bn·cn且数列 、 分别是等
　　差数列、等比数列时，求该数列 前n项和时，可用该方法。
　　例1：求和Sn= + + + +… 。
　　设an= =n· ，其中 为等差数列， 为等比数
　　列，公比为 ，利用错位相减法求和。
　　两端同乘以 ，再两式相减得：Sn=2- - 。
　　说明：乘比错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。
　　三 分组求和法
　　对于数列 ，若an=bn± 且数列 、 …都能
　　求出其前n项的和，则在求 前n项和时，可采用该法。
　　例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。
　　解：设an= =1-10-n
　　Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
　　=n- （1-10-n）
　　四 倒序相加法和倒序相乘法
　　1.倒序相加法
　　在教材上推导等差数列 前n项和Sn的公式：Sn=
　　使用的就是该法，推导过程参看教材。
　　例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。
　　解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）
　　S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）
　　由（1）+（2）得：S= 。
　　例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。
　　解析：据组合数性质 = ，将Sn倒序写为：Sn=n +（n-1） + 。
　　以上两式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。
　　因此，Sn=n·2n-1。
　　2.倒序相乘法
　　例5：已知a、b为两个不相等的正数，在a、b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积pn。
　　解：设插入的这n个正数为a1、a2、a3…an，且数列a1、a2、a3…an、b成等比数列。
　　则：ab=a1·an=a2·an-1=…
　　∵ pn=a1·a2·a3…an （3）
　　又pn=an·an-1·an-1…a1 （4）
　　由（3）×（4）得： =（a1an）（a2 an-1）…（an a1）（ab）n。
　　因此， 。
　　〔责任编辑：李继孔〕

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