活用课本例、习题，培养学生数学“问学”意识

　　【摘要】让教师和学生共同分担发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的责任，需要更加关注和研究如何让学生问.课本例、习题教学，是培养学生数学"问学"意识的重要一环.本文从重设例、习题的出现情境，激发学生"想问"的愿望；调整例、习题的梯度，促进不同发展水平的学生"能问"、"敢问"；打破例、习题出现的时空，领悟其蕴含的思想方法，引领学生会问做了一些探讨.
　　【关键词】活用课本例、习题；问学意识
　　中图分类号：G623.5
　　爱因斯坦说过："提出一个问题比解决一个问题更重要".做学问是"学"与"问"的结合，而我们的学生往往只钟情于学，却弃问于不顾.一个重要原因就是，问题往往由教师"包干"，教学时，问题由教师一个一个提出，而学生只是等待着教师的提问，学生根本就没有提出问题的空间.如何让教师和学生共同分担发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的责任，需要更加关注和研究如何让学生问.陶行知先生曾说过："发明千千万，起点在一问".美国教育家布鲁巴克也说："最精湛的教学艺术，遵循的最高准则是让学生自己提问".教师在教学中尝试对课本典型的例、习题进行挖掘，引导学生发现问题、提出问题，主动思考，积极讨论，既整合了学生的知识体系，又在提问中培养学生怎样问、为什么这样问的"问学"意识，达到开阔视野、触类旁通、可持续发展的效果.
　　一、重设例、习题的情境，让其背景鲜活起来，更贴近学生的"最近发展区"，激发学生"想问"的愿望
　　课本例、习题只是给学生提供了一个素材，而不一定是适合每一位学生学习的最佳范本，师生对之完全有创造的空间.课本例、习题有的缺乏生活气息或脱离学生的实际发展水平.如果对其赋予与学生密切相关的情境，或生活情境或与自身发展相适应的数学情境，可以激发其"想问"的愿望.
　　例1 如图1-1，点A、B在直线l同侧，点B，是点B"关于l的对称点， AB交l于点P.
　　（1） AB，与AP+PB相等吗？为什么？
　　（2） 在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由.
　　例2 如图1-2，要在街道l旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？试说明其道理.
　　点评：例2与例1相比，解决入口更加宽泛.有的学生凭直觉猜想；有的利用物理学中的镜面对称来解决；还有的学生考虑和例1的关系等.其次，背景更贴近学生生活实际，学生感觉奶站位置重要，自然而然就会问，位置在哪里？位置唯一吗？同时也启示学生：数学就在你身边！问题是会不会把实际问题转化为数学问题，并用数学的有关知识来解答.
　　例3 三角形高的画法与识别
　　①（在图形的位置变化下）如图1-3，在三个图形上，分别画出△ABC中AC边上的高.
　　②（在复杂的图形中）如图1-4，填空△ABC的BC边上的高是______；以AD为一条高的所有三角形为______；以CE为一条高的所有三角形为______.
　　③（在图形的运动中）如图1-5，BD、BE、BF分别为△ABC的中线、角平分线和高.回答：（1）当点C沿CA向点A运动时，BF的长短和位置是否发生变化？如果发生变化，分析其变化的情况.（2）当点C沿CA向点A运动时，BD、BE的变化情况是否与BF相同？BD、BE的位置是否可在△ABC的外部或边上？
　　点评：本题源于课本而又高于课本.让学生感悟三角形的位置不同、形状不同、运动状态不同，高的内涵与外延能否正确把握.进一步启发学生提出问题：怎样才算掌握了与图形有关的概念？给你什么启示？让学生对今后研究类似数学概念提供探究的方向：复杂的背景下、运动的状态中能否抓住概念的特征来识别图形？学生知道概念的来龙去脉，以后提出研究的问题信心就增强了。
　　二、调整例、习题的梯度，让不同发展层次的学生能问、敢问，并在相互的交流中学习提出问题的方法
　　课本中的例、习题一般有两类：一类是直接套用刚学习的规则、公式、概念、命题和巩固相关技能；另一类则需要通过适当的尝试、猜想、验证、转化等手段逐步探索其解.对于这两类题目，都可以适当、适时增大或减小梯度，以满足不同发展水平的学生需要，让学生在各自"跳一跳、摘桃子"的领域敢于提问、能够提问、乐于提问，享受成功的喜悦，激发起新的更高的学习热情.
　　例4 如图1-6，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
　　学生读题后，教师给出思考题：（1）平行四边形有哪些判定方法？（2）能否直接证明EF∥HG，EF=HG？（3）由E、F、G、H是各边中点，你能联想到什么数学知识？（4）图中有没有现成的三角形及其中位线？如何构造？（设计意图：问题（1）激活知识；问题（2）暗示辅助线的添加方法；问题（3）类比联想；问题（4）考虑转化）
　　证明完成后，教师引导学生归纳：我们把四边形ABCD称原四边形，四边形EFGH称中点四边形，可知任意四边形的中点四边形是平行四边形；辅助线沟通了条件和结论，实现了转化.原四边形的一条对角线沟通了中点四边形一组对边的（位置、数量）关系.
　　教师进一步激发学生的探究愿望：如果我们把这一道题变一变条件或者变一变结论，就可以与我们所学的全章的核心知识联系在一起，大家有没有兴趣自己试一试？（学生大部分跃跃欲试）下面看你能提出多少问题？
　　生1：例1中如果不是添加辅助线AC，而是连结另一条对角线BD，能证明吗？如果不是添加一条辅助线，而是两条都添加，能证明吗？噢，我看出来了，一条辅助线和刚才的证法是一样的！两条嘛，既可以用三角形中位线与第三边的位置关系，也可以用与第三边的数量关系，也可以合在一起来使用，都能证明是平行四边形！
　　学生讨论，总结出四种证明四边形EFGH是平行四边形的方法.
　　生2：老师，我来说，如果原四边形不是一般四边形，而是平行四边形、矩形、菱形、正方形，对了，还有梯形，中点四边形能是特殊的平行四边形吗？ 　　生3：我补充，如果是特殊梯形：直角梯形呢？等腰梯形呢？
　　生4：如果中点四边形是矩形、菱形、正方形，有这种可能吗？原四边形会是什么样的四边形？
　　生5：老师，如果条件不是四边形，而是五边形、六边形、......，是否可以叫中点五边形、中点六边形？它们是不是特殊的五边形？六边形？......
　　学生投入到积极的思考中，他们提出了各自的问题，笔者根据学生提出的问题，及时进行归类，把与这堂课有关的内容，分组进行讨论，经过大约20分钟以后，学生上台汇报交流，总结规律.
　　点评：由于夯实了基础，突出了新旧知识的联系，渗透了重要数学思想方法：类比和转化，为不同发展层次的学生的后续发展铺设了台阶，促使不同发展层次的学生能从自身的知识水平和能力出发，积极主动地参与提出问题的活动.在学生提问的的同时，教师引导学生作好小结：哪些提问思考的方法引起了你的重视？对你有何启发？让学生关注问题提出的方式、方法，提炼一般化和特殊化的思想.
　　课后反思：在例、习题的教学中，不能就题论题，要引导学生融入"问题教学"之中，让学生参与"问题教学"中的"问".不但要研究一题多解，而且要根据题目的特点思考问题的变式与引申，有利于知识的联系与拓广，能起到举一反三的作用，使学生掌握问题探究中提出问题的方法.
　　三、打破例、习题出现的的时空，让学生透过现象看本质，"触摸"蕴含其中的数学思想方法，促进"会问"，提升"问学"的效益
　　数学思想方法是数学的灵魂.在变中寻求不变是数学永恒的追求.例、习题教学中常常要打破其出现的时间、地点，对其进行重组，以比较彼此之间的异同，让学生"触摸"到其中蕴含的思想方法，对曾经的提问进行反思，增强"问"的普适性，提升"问"的效益.
　　例5 （1）一根弹簧长40cm，一端固定，另一端可挂重物，通常所挂物体质量每增加1kg，弹簧伸长2cm.求弹簧长度为45cm时所挂物体的质量.
　　（2）据资料，海拔每升高100m，气温下降0.6℃，山顶的气温为12.4℃，求山高.
　　（3）小明星期天到红山公园秋游，公园离家25km，小明先乘公共汽车，车速为30km/h，到某站下车后以5km/h的速度步行到公园，共花了1h.问小明步行了多长时间？
　　（4）一辆汽车的油箱内有油20升，已知该汽车每行驶100公里耗油8升，求汽车内的余油量y（升）与行驶的路程x（公里）之间的函数关系式.
　　（5）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
　　以例5（2）为例，在问题起始阶段，我常常用这样的提示语引导学生：海拔每升高100m，气温下降0.6℃，那么升高200m呢？升高260m呢？更为一般地，海拔升高xm呢？请注意我是怎样提问的？你会发现一个类似的问题自己解决吗？
　　点评：解决问题首先需要观察问题的特征 ，发现并总结规律，让学生比较：这些问题有何异同？在"变"中发现了什么？"不变"！浓缩知识 ，应付"万变"！同是正比例关系，出现在不同的背景中！让学生看到，它们的数量关系有着本质上共同的地方.这些具有共同数量关系的问题在不同的情境中呈现，可以用相同的数学模型来解决，深刻体现了转化的思想魅力！在以后的学习过程中自然要考虑：对于已经熟悉的数学模型，能把它用到新的情境中去吗？新的情境中的数量关系能转化为已经学过的数学模型来解决吗？我们在发现问题中的一些提问的方式、方法，对今后有普适性吗？
　　例6 计算
　　（1）（a+2b）（a-2b） （系数变化）；
　　（2）（b2+2a2）（2a2-b2） （字母位置及指数变化）；
　　（3）（-4a-1）（4a-1）（符号变化）；
　　（4）102×98（题设形式变化）；
　　（5）（（公式中数的类别发生变化）；
　　（6）（a+b+c）（a-b-c）（项数变化）；
　　（7）设（0.5-a）A=0.25-a2，则多项式A为____（逆向思考）；
　　（8）20092-2008×2010（背景复杂化）；
　　（9）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1（借"1"还"1"）.
　　点评：此例中平方差公式在计算中的应用，体现了原式-变式-综合这一公式应用的三程序。可引导学生思考，公式中字母可以表示什么？能否从形的角度研究它的应用？如果让你编拟一组题目，你能对公式如何进行变化？尝试对已经学过的公式进行变形.你能提出自己的想法吗？ 学生在学中问，在问中学，"问学"意识在头脑中逐渐扎根了。
　　总之，师生应充分挖掘例、习题的"潜能"，做到合理变化，做到到因材施教、因时施法。不但可以将例、习题的思想性、知识性、趣味性融为一体，提高学生的学习兴趣，增强学生学好数学的自信心，而且真正领悟学会提问的魅力， 把学生培养成为求原理、讲道理、懂科学、有智慧、究根底、会思考的人，这才是一名教育工作者的神圣职责，也是其最大价值所在.
　　参考文献：
　　（1）编者.数学教育 教师为本.中小学数学（初中版）.2010年第三期.P5.
　　（2）现代教学原理、策略与设计.盛群力、马兰主译.浙江教育出版社.200607.P542.
　　（3）初中数学难点教与学.主编：曾美露.山东教育出版社.1999.

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