[新课标数列分类求和的解法分析] 数列求和方法经典例题

　　[摘要]在新课标中大多数求和的数列都是由我们所学过的等差、等比数列构造而来的新数列，因此数列求和问题的基本思想是以转化为基础，合理地进行变形，将新数列同我们所学过的等差、等比数列相联系，从而达到以旧解新的目的。本文详细的阐述了此观点。
　　[关键词]数列求和；数列的分类；方法的选择
　　中图分类号：G623.5
　　数列求和是数列的重要内容之一，在新课标高考和各种考查中都占有重要的地位。由于数列求和没有通性通法，学生在解题时，只能盲目地照搬教辅资料上的方法。针对这种情况，笔者有一点求解心得，即依据通项公式的结构将求和数列进行分类，运用转化思想，有针对性地将通项公式整理变形后，同等差、等比数列相联系，从而求和。
　　1.求和数列的分类
　　1.1 等差、等比型数列：即数列通项公式最终可化简整理成一次函数模型或者指数型函数模型的数列。
　　如：an=kn+b和an=kqn型的数列。
　　1.2 组合数列：即由一个等差和一个等比数列构造而成的数列。
　　设{an}是等差数列、{bn}是等比数列
　　1.2.1 加减组合数列：即由一个等差和一个等比数列相加减组成的数列。
　　如：数列{cn}的通项公式为cn=an+bn
　　1.2.2 乘除组合数列：即由一个等差和一个等比数列相乘除组成的数列。
　　如：cn=an·bn和
　　相除时，等差数列做分子，等比数列做分母，此时依然为等比数列。
　　1.3 分式型数列：即通项公式可整理成分式的数列。
　　如：
　　2.各类数列求和的解法分析
　　在新课标中，常用的求和方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项法。
　　2.1 等差、等比型数列
　　此类数列最终可化简成等差、等比数列，故可采用公式法求和，即直接用求和公式求解。
　　例1、（2010陕西卷）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9成等比数列。
　　（1）求数列{an}的通项；（2）求数列的前n项和Sn
　　解：（1）由已知得
　　解得d=1，d=0 （舍去）故{an}的通项an=1+（n-1）×1=n
　　（2）由（1）知
　　由等比数列前n项和公式得
　　注意：求和时，搞清楚首项、公差、公比（是否为1）的值，以及求多少项的和，不一定是n项
　　2.2 组合数列
　　2.2.1 加减组合数列：采用分组求和法求和，即将数列分成几个等差、等比、或常见的数列，然后分别求和再合并。
　　例2、求数列的前n项的和。
　　解：因为
　　所以
　　注意：分组求和法实际上是公式法的延伸运用。
　　2.2.2 乘除组合数列：此类数列的求和在高考中占有相当重要的位置，一般可采用错位相减法求和。此方法的目的是将原数列转化成等比数列后再求和。
　　例3、（2010新课标全国卷）设数列{an}满足a1=2，an+1-an=3×22n-1
　　（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn
　　解：（1）由已知，当n≥1时，
　　an+1=[（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）]+a1
　　=3（22n-1+22n-3+…+2）+2=22（n+1）-1。
　　而a1=2，所以数列{an}的通项公式为an=22n-1。
　　（2）由bn=nan=n·22n-1知
　　①
　　故有②
　　①-②得
　　。
　　即
　　注意：相减过程中项的正负号及项的取舍，以及相减后求和时，项的个数为项。
　　2.3 分式型数列：可采用裂项法求和。此方法的特点是将原数列每一项拆为两项之差，通过相加相消后，只剩下有限的几项。
　　例4、（2010山东卷）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.
　　（1）求an及Sn；（2）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.
　　解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有
　　，解得a1=3，d=2，
　　所以an=3+2（n-1）=2n+1；==。
　　（2）由（1）知an=2n+1，所以bn===，
　　所以，
　　即数列{bn}的前n项和。
　　注意：裂项时可采用待定系数法进行裂项，另外在相加相消的过程中，分清楚留下的项和消去的项。
　　2.4 其它求和方法：如倒序相加法，这是在推导等差数列求和公式时所用的方法，但这种方法在解题中很少应用。
　　3.数列求和的解题过程
　　通过以上的分析可看出，数列求和的关键不在于求和本身，而在于通项公式的求解。每一种方法使用的前提都和通项公式相关，每一种方法的选择都是从通项公式的结构中观察得来的，所以数列求和的解题步骤是：
　　（1）求通项公式an，（2）化简整理an，
　　（3）依据an的结构选择方法，下面是通项公式结构对应的方法：
　　an是等差、等比型则用公式法；an是加减组合形式则用分组求和法；
　　an是乘除组合形式则用错位相减法；an是分式形式则用裂项法。
　　另外在近几年的高考中，也出现了多种求和方法综合在一起考查的例子，如：
　　例5、（2009全国卷）在数列{an}中，
　　（1）设，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn
　　解：（1）由已知有
　　利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式：（）
　　（2）由（1）知，
　　=
　　而，又是一个典型的错位相减法模型，
　　易得用分组求和的方法得：∴Sn=n（n+1）+-4
　　综上所述，依据通项公式的结构将求和数列进行分类，可使数列求和问题的求解具有规律性和针对性。同时我们也可看出，数列求和是一个复杂的问题，并非所有数列我们都能求和。在新课标中大多数求和的数列都是由我们所学过的等差、等比数列构造而来的新数列，因此数列求和问题的基本思想是以转化为基础，合理地进行变形，将新数列同我们所学过的等差、等比数列相联系，从而达到以旧解新的目的。
　　参考文献
　　[1]广冬雁：数列求和十法数理化学习（高中版）
　　[2]叶锋：浅谈数列求和成都教育出版社

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