含参不等式恒成立专题 [含参不等式恒成立问题的求解策略]

摘要：含参不等式的恒成立问题是高中数学的一个难点，也是近年来高考的一个热点，由于这类问题灵活多变、思辨性强，令不少学生望而生畏、束手无策；它涉及到函数的性质、图像、不等式等知识，渗透着换元、化归、数形结合、函数等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐。本文试对此类问题的求解策略与方法作一个提炼总结。关键词：含参不等式；数学；函数中图分类号：G632.41 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）12-0086-02一、引言该题型考察含参数的不等式恒成立问题，在考试中经常出现，但还是有许多学生茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的很多思想方法；同时这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。二、含参不等式求解法下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：例1：已知不等式x2+ax+1≥0对于一切的x∈（0，■]恒成立，求a的取值范围。解法一：原不等式可化为ax≥-（x2+1）∵x∈（0，■]，∴a≥-（x2+1）令f（x）=-（x+■），x∈（0，■]∴f"（x）=-（1-■）=■>0恒成立∴函数f（x）=-（x+■）在（0，■]上单调递增。∴f（x）max=f（■）=-■∴a≥-■解法二：利用参变量分离法化成a>f（x）（afmax（x）（a解法三：构建函数法利用一次函数、二次函数的性质来确定参数的取值范围。化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。g（x）=x2+ax+1，x∈（0，■]，对称轴为：x=-■-■≤0g（0）≥0？圯a≥0-■≥0g（■）≥0？圯-■≤a≤-1 0综上：a≥-■解法四：数形结合法某些含参不等式恒成立问题，采用数形结合的方法可以更直观的解决好问题。两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图像，然后通过观察两图像（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。原不等式可化为：ax≥-（x2+1）令y1=-x2-1，y2=ax，x∈（0，■]在同一坐标系中做出它们的图像，由图可知：a≥-■。法三化成f（x）≥g（x）型问题，利用数形结合思想转化为函数图像的关系再处理。解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解。从简单问题入手，让学生自己归纳与分析解题思路，最后提炼解决此问题的实质是解决函数的最值问题。三、总结数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，通过这个例题，我们再次领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决.但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，通过化归到函数求其最值来处理。因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。参考文献：[1]何灯，王少光.Carleman不等式的加强及加强式的自动发现[J].汕头大学学报（自然科学版），2011，（4）.[2]刘保乾.不等式自动发现和判定程序agl2010的若干改进及应用[J].广东第二师范学院学报，2011，（3）.[3]刘保乾.不等式的自动发现原理及其实现[J].汕头大学学报（自然科学版），2011，（2）.

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