一年级思维训练100题_精选思维起点，巧解数学问题

　　摘要：波利亚说过中学数学教育首要的任务就是加强解题训练。数学解题过程是根据问题条件，利用有关的基础知识、基本技能、基本思想和基本方法，实施有计划、有步骤、有目的的逻辑推理活动。要顺利完成这一活动，首要的是选择准确、恰当、合理的思维起点，使解题思维活动由问题初态指向问题终态。眼下很多考生没有基本的思维起点储备，只顾做题，不去或不会总结，题目背景一换便不知所措，无从下笔。笔者结合江苏省近几年高三的大市统测试题和高考真题谈谈几种常见的选择思维起点的方法，以期对广大考生的备考有所帮助。
　　关键词：思维起点 选择 条件 目标 模型 思想方法
　　一、从问题的条件选择思维起点
　　直接从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质等通过正确的运算，科学的分析，就可在题设条件和所求问题之间搭起一座桥梁，使思维从桥的这端到达另一端。
　　例1.（扬州2011届高三期末3）已知在等差数列{an}中，a10=10，S10=70，则其公差d=
　　分析：欲求公差d，可以利用基本量法构造a1和d的两个方程解得。也可以利用等差数列S10，a10，a1三者的关系求出a10，再求d。
　　解法1：由题意得：a1+9d=1010a1+■d=70
　　解得：a1=4d=■
　　解法2：∵S10=（■）×10=70∴a1+a10=14又a10=10，∴a1=4，又a1+9d=10∴d=■
　　二、分析问题目标的特征选择思维起点
　　目标是问题要求的结果，它不仅是解题的终点，也是解题的起点，调控着解题的全部思维过程，解题时要分析目标特征，并以此为突破口来建立思维起点。
　　例2.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是p、q的两个部分，则■+■=
　　分析：欲求p与q的关系，首先应认清p与q是两个焦半径的长，即只需要求出焦半径长的关系。设弦两个端点A、B的横坐标分别是x1，x2，根据抛物线的定义易知p=x1+1，q=x2+1，从而x1=p-1，x2=q-1显然借助于x1，x2关系可以找到p，q的关系。
　　解法1：1°当直线AB的斜率存在时，则设直线AB的方程为：y=k（x-1），与y2=4x联立得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由x1，x2是该方程的两根得
　　∴x1x2=1=（p-1）（q-1）∴pq=p+q∴■+■=1
　　2°当直线AB的斜率不存在时，易知p=1，q=1符合■+■=1
　　解法2：考虑此题为定值型填空题问题，让焦点弦的位置特殊化，即AB的斜率不存在时，易知p=1，q=1，不难发现■+■=1，节省了解题时间。
　　三、构建数学模型选择思维起点
　　借助于抽象和想象构建与问题相关的数学模型，突出研究对象的本质因素，忽略其非本质因素，把思维起点选择在建立的模型上，常能使问题化繁为简，化难为易。
　　例3.（2003年全国卷改编）一个正四面体的棱长为■a，其外接球体的体积为
　　解：构造棱长为a的正方体，则易知正方体的外接球与以该正方体棱长为高的正四面体的外接球为同一个球，此时2R=■a∴V=■？仔R3=■？仔（■）3=■？仔a3
　　四、运用数学思想方法选择思维起点
　　数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，运用数学思想方法作为解题的突破口，往往能取得事半功倍的效果。
　　1.运用“数形结合”思想选择思维起点
　　例4.（常州2010届高三期末14）对于任意的实数a，b，定义F（a，b）=■（a+b-|a-b|），如果函数f（x）=x2，g（x）=■x+■，h（x）=-x+2那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于
　　解：由题意F（a，b）=■（a+b-|a-b|）=b，a≥bb，a2x+2>■x
　　解得：2■-2　　解法2：以AB 所在的直线为x轴，AB 中点为原点，建立坐标系xoy，则A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由AC=■BC得■=■■化简得：（x-3）2+y2=8，所以点C在以R=2■，圆心（3，0）的圆上（去掉与x轴交点），从而S最大值=■×2×2■=2■。
　　4.运用特殊化的思想选择思维起点
　　特殊值法是通过研究对象的特殊情形（如特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊判断等）的分析，达到选择或得到一般结论的解题技巧。从特殊到一般，特殊值法是辨析、否定探索的手段；从一般到特殊，特殊值法是求解、推证手段。对定值型问题以此切入，非常方便。
　　例7.（09南通期末调研第13题）在△ABC中，∠A=■，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且|■|2=|■|2+■·■，则∠B等于 .
　　■
　　分析：由于 D是BC边上任意一点，∠B为定值。可以让B点位置特殊化。
　　解：取D为BC中点时■=■，∴|■|2=|■|2+■·■∴|■|2=|■|2+|■|2，∴AD⊥BD又D为BC中点∴△ABC为等腰三角形易得∠B=■？仔
　　5.运用“转化与化归”的思想选择思维起点
　　化归与转化是解决数学问题的常用思想，将未知转化为已知，将复杂转化为简单。转换解决问题的知识背景或途径，以期更简单地解决数学问题。
　　例8.（2009盐城调研）若关于x的不等式x2<2-|x-t|至少有一个负数解，求实数t范围。
　　分析：常规思路可用数形结合，也可用分离变量法利用有负数解的条件转化为函数的最值问题，很方便。
　　解法1：利用数形结合令函数y1=2-x2，
　　y2=|x-t|在y轴左侧y2=|x-t|图像上至少存在一点在y1=2-x2图像的下方。解得t∈（-■，2）
　　解法2：利用绝对值性质分离变量：x2-2　　当然，思维起点的选择方法远不止上述几种，数学问题的千变万化，决定了思维起点的选择没有固定的模式，而且同一问题也可能存在多种选择方法，这就要求同学们在学习中不断探索，不断总结常见题型的基本思维起点，方能跳出题海，游刃有余。
　　参考文献：
　　[1] 曹永罗.高中数学教学与测试文科总复习.苏州大学出版社，2012.
　　[2] 石生民.中学数学教学参考.陕西师范大学出版社，2011.
　　（责编 高伟）

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